Synchrotronschwingung

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Quellen:
DESY H-70/21, Interner Bericht, Sept. 1970, S.42 bis S.50
Physik der Teilchenbeschleuniger, K.Wille, 1992, S.205 bis S.209

Energieverlust

Ein auf einer Kreisbahn umlaufendes Elektron strahlt beim Umlauf Energie ab. Die pro Umlauf abgestrahlte Energie beträgt:

\[U_A = { e_0^2 \over 3 \varepsilon_0 (m_0c_0^2)^4}{E^4 \over R}\]

mit
Elementarladung e0 = 1,602 10-19 As
Elektrische Feldkonstante \(\varepsilon_0\)=8,854 10-12 As/Vm
Ruhemassse des Elektrons m0 = 9,109 10-31 kg = 511 keV
Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c0 = 2,998 108 m/s
Bahnkrümmungsradius innerhalb der Dipolmagnete R
Teilchenenergie E

\[U_A [MeV]=88,5 \cdot 10^{-3} {E^4 [(GeV)^4] \over R[m]}\]

Sollphasenwinkel

Der Energieverlust wird durch die Hochfrequenzfelder der Cavities ausgeglichen. Die Frequenz dieser Felder ist gleich dem h-fachen der Umlauffrequenz der Teilchen. Die Zahl h wird Harmonischenzahl der Maschine genannt. Die Teilchen laufen in der Maschine synchron mit der Hochfrequenz um und haben im Mittel eine feste Phasenbeziehung zu ihr. Dieser sogenannte Sollphasenwinkel \(\psi_S \) hängt vom Verhältnis Energieverlust pro Umlauf \( U_A \) zur Umfangspannung \( \Sigma U_C \) ab.

\[\psi_S =\arcsin \Bigg({U_A \over \Sigma U_C} \Bigg) \]

Synchrotronfrequenz

Um den Sollphasenwinkel herum vollführen die Teilchen Synchrotronschwingungen. Die Frequenz \( f_S \) dieser Schwingung ist durch die Maschinenparameter, die Teilchenenergie und, über den Sollphasenwinkel, durch die Umfangspannung bestimmt.

\[ f_S = f_U \sqrt{{h \cdot \alpha \cdot U_A } \over {2 \pi \cdot E \cdot \tan \psi_S}} \]

Beispiel:

Maschinenparameter PETRA-3
Teilchenenergie E = 6 GeV
Energieverlust pro Umlauf \( U_A \) = 4,66 MeV
Umlauffrequenz \( f_U \) = 130,12 kHz
Harmonischenzahl h = 3840
Momentum Compaction Factor \( \alpha \) = 1,127 10-3


Setzt man die Werte in die obige Formel ein, dann erhält man für die Synchrotronfrequenz: \[ f_S = 6,15 kHz \]


Synchrotronschwingung.PNG

Obacht! Meistens ist der Sollphasenwinkel \( \psi_S \) wie in grün dargestellt definiert. Die in grau dargestellte Definition \( \Psi_S \) ist aber auch gebräuchlich.


Das Diagramm zeigt eine Periode der sinusförmigen Beschleunigungs-HF-Spannung. Die grüne Ellipse stellt einen Bunch dar, der auf der Sollphase umläuft. Der Bunch verliert während des Umlaufens Energie durch Abstrahlung. Da er sich nahezu mit Lichtgeschwindigkeit bewegt und somit "relativistisch" ist, verliert er dadurch etwas Masse. In den Dipolfeldern des Beschleunigers ist seine Bahn dadurch etwas stärker gekrümmt und somit kürzer als die Sollbahn. Der Bunch kommt dadurch früher als zum Sollzeitpunkt im beschleunigenden HF-Feld an (rot dargestellter Bunch). Zu diesem früheren Zeitpunkt trifft er auf ein stärkeres HF-Feld und hat nach Durchlaufen der Beschleunigungsstrecke mehr Energie als ein Bunch, der auf der Sollphase umläuft. Durch die größere Energie ist der Bunch nun schwerer und durchläuft die Dipolfelder mit größerem Bahnradius und benötigt entsprechend länger für den Umlauf, so dass er später als zum Sollzeitpunkt im beschleunigendem HF-Feld ankommt (blau dargestellter Bunch). Zu diesem späteren Zeitpunkt trifft er auf ein bereits schwächeres Feld und kann entsprechend weniger Energie aufnehmen, als er bei den folgenden Umläufen durch Abstrahlung verliert. Der Bunch wird somit wieder leichter und nähert krabbelt wieder zu größeren Sollphasen hoch. Das Wechselspiel wiederholt sich solange der Beschleuniger in Betrieb ist. Die Freuqnz mit der der Bunch um die Sollphase herumschwingt ist die Synchrotronfrequenz.

Phasenstabiler Bereich

In Kreisbeschleunigern haben immer etliche Teilchen des Strahls so große Phasenabweichungen, dass sie in den nichtlinearen Bereich des durch die sinusförmige HF-Spannung erzeugten Potenzials gelangen. Bei sehr großen Phasenabweichungen kann dabei sogar der stabile Bereich überschritten werden und die Teilchen gehen verloren. Die Grenze zwischen dem stabilen und dem instabilen Bereich in der \( \Delta E - \Delta \psi \)-Phasenebene nennt man Separatrix. Teilchen mit sehr kleiner Schwingungsamplitude verhalten sich wie ein harmonischer Oszillator in einem parabelförmigen Potenzial. Mit wachsender Amplitude kommen die Teilchen in den nichtlinearen Bereich und gehen schließlich bei Erreichen des Punktes A verloren und verlaufen asynchron zur HF-Phase des beschleunigenden Feldes (siehe dazu nachstehende Abbildung). Die Größe des phasenstabilen Bereichs reicht von A bis B. Der Punkt A markiert ein Extremum der Potenzialfunktion.

\[ V_{(\Delta \psi)} = -{{e_0 \cdot \Sigma U_C \cdot E} \over {\pi h \alpha}} \cdot [\cos(\psi_S + \Delta \psi)+ \Delta \psi \cdot \sin \psi_S] \]

Bucket-Potenzial.PNG


Beispiel: Phasenstabiler Bereich PETRA-3

Kurve \( \Sigma U_C \) \( \psi_S \) \( \Delta \psi_{max} \)
rot 12 MV 22,8° 135°
grün 20 MV 13,5° 153°
blau 25 MV 10,7° 160°

Separatrix

Die Grenze zwischen stabilem und instabilem Bereich markiert die Separatrix. Man berechnet sie für relativistische Teilchen mit nachstehender Gleichung.

\[ \Delta E = \pm \sqrt {{{e_0 \Sigma U_C E} \over {\pi h \alpha}} \cdot [\cos(\psi_S + \Delta \psi)+ \cos \psi_S +(2 \psi_S + \Delta \psi -\pi ) \cdot \sin \psi_S] } \]

Zeichnet man die nach vorstehender Formel berechnete Separatrix in ein \( \Delta E - \Delta \psi \)-Diagramm, dann erhält man die nachstehende Kurvenschar. Es ist dabei zu bedenken, dass es wegen der Periodizität der Beschleunigungsspannung eine Folge von stabilen Bereichen im Abstand \(2\pi\) gibt. Insgesamt hat ein Beschleuniger auf dem Umfang h solcher Bereiche in denen die Teilchen Synchrotronschwingungen ausführen und die sie ohne äußere Einwirkungen nicht verlassen können. Sie sind hier gefangen, wie Wassertropfen in einem Eimer. Daher bezeichnet man im Englischen die phasenstabilen Bereiche innerhalb der Separatrix als Buckets

Separatrix.PNG

Energieakzeptanz

Aus der Gleichung der Separatrix kann die HF bedingte Energieakzeptanz eines Beschleunigers berechnen. Das ist die maximale stabile Energieabweichung, die ein exakt auf der Sollphase (d.h. \( \Delta \psi=0 \)) umlaufendes Teilchen haben darf.

\[ \Delta E_{max} = \pm \sqrt {2{{e_0 \Sigma U_C E} \over {\pi h \alpha}} \cdot [\cos \psi_S + (\psi_S - \frac {\pi}{2}) \cdot \sin \psi_S] } \]

Da man für \( \Sigma U_C \) auch \( \frac {U_A}{\sin \psi_S} \) schreiben kann, folgt

\[ \Delta E_{max} = \pm \sqrt {2{{e_0 U_A E} \over {\pi h \alpha}} \cdot [\cot \psi_S + \psi_S - \frac {\pi}{2}] } \]

Beispiel: Energieakzeptanz PETRA-3

mit
Teilchenenergie E = 6 GeV
Umfangspannung \( \Sigma U_C \) = 20 MV
Sollphase \( \psi_S \) = 0,235 (entspr. 13,5°)
Harmonischenzahl h = 3840
Momentum Compaction Factor \( \alpha \) = 1,127 10-3


Setzt man die Werte in die obige Formel ein, dann erhält man für die Energieakzeptanz: \[ \Delta E_{max} = 108 MeV \]