Strahlstrom-Spektrum

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Den gebunchten Strahlstrom unserer Kreisbeschleuniger kann man in erster Näherung als pulsförmigen Strom betrachten.
Mittels Fourier-Analyse lässt sich das Frequenzspektrum eines solchen Pulsstromes berechnen. Das Ergebnis ist in der nachstehenden Abbildung für ein Rechtecksignal mit unterschiedlichem Stromflusswinkel \( p = 2 \pi \cdot {\tau/T} \) dargestellt. Dabei ist \( \tau \) die Pulsdauer (Bunch-Länge) und T der Pulsabstand (Bunch-Abstand).


Fourier-Zerlegung eines Rechteckpulses

Strahlstrom-Spektrum.bmp

Erste wichtige Erkenntnis

Aus der Fourier-Zerlegung lässt sich folgendes ablesen:

  1. Der Gleichanteil DC hat den Wert \( DC=Ap / \pi \)
  2. Die Wechselanteile AC haben die Amplituden \( AC =2A / \pi \cdot \frac {\sin (np)} {n} \) mit \( n= 1, 2, 3 ... \infty \). Durch eine leichte Umformung erhält man \( AC =2Ap / \pi \cdot \frac {\sin (np)} {np} \) mit \( n= 1, 2, 3 ... \infty \).


Für sehr kleine Stromflusswinkel p wird \( \frac {\sin (np)} {np} \approx 1 \). Setzt man unter dieser Bedingung Wechselamplitude und Gleichamplitude ins Verhältnis, dann ergibt sich \( \frac {AC} {DC}=2 \).


Das bedeutet: Sind die Pulse kurz und kommen vergleichsweise selten, dann ist die Wechselstromkomponente doppelt so groß wie die Gleichstromkomponente.


Zweite wichtige Erkenntnis

Was passiert mit der Amplitude einer Harmonischen, wenn ich den Gleichanteil DC und die Pulsdauer \( \tau \) (Bunch-Länge) konstant halte, aber den Pulsabstand T (Bunch-Abstand) halbiere - also bei gleichem Strahlstrom die Bunch-Zahl verdoppele?

  1. Der Stromflusswinkel p verdoppelt sich. Das hat aber wegen \( \frac {\sin (np)} {np} \approx 1 \) bei genügend kleinem n kaum einen Einfluss.
  2. Die Pulsamplitude A (Bunch-Strom) muss halbiert werden, wenn bei unverändertem Strahlstrom die Bunch-Zahl verdoppelt werden soll. Die Amplituden der Harmonischen bleiben aber wegen des verdoppelten Stromflusswinkels p und \( AC =2Ap / \pi \) konstant!

Das bedeutet: Verändert man bei unverändertem Strahlstrom die Anzahl der Bunche, dann bleiben die Harmonischen-Amplituden konstant! Allerdings verändert sich die Dichte des Spektrums. Je mehr Bunche bei unverändertem Strahlstrom gefüllt werden, desto "dünner" wird das Spektrum .




Strahlstrom-Spektrum 1.bmp

Beispiel PETRA

\( nB=40 \)
\( \tau = 80 ps \)
\( T=192 ns \)
\( \Rightarrow p=0,00262=0,15^\circ \)
Bis \( np \approx 0,5 \) gilt \( \sin (np) \approx {np} \).
Mit p=0,00262 kann man bis zur Harmonischen n=0,5/0,00262=190 annehmen, dass deren Amplitude doppelt so groß wie der Gleichstrom ist.
Die Frequenz der 190. Harmonischen beträgt \( f_{HF} = 190/192 ns = 990MHz \)