Speicherringe

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Quelle: Was Sie schon immer über Speicherringe wissen wollten - aber bislang nicht zu fragen wagten
von Jörg Feikes (Die Urversion auf Papier dieses Artikels für HERA stammt vom 7. Oktober 1991)

Einleitung

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In Synchrotron-Strahlungsquellen (z.B. BESSYII) kreisen entweder Elektronen oder Positronen bei konstanter Energie in einem Vakuumrohr. Bei Speicherringen für Hochenergieexperimente (HERA) kreisen Teilchen gegenläufig um. Im Allgemeinen werden die Teilchen dabei zu Teilchenpaketen (sogenannten ’Bunchen’) fokussiert, die einige \(10^{10}\) Teilchen enthalten können. In den Ablenkmagneten oder speziellen magnetischen Konstruktionen, neudeutsch “Insertion Device” (z.B. Undulator, Wiggler), werden aus diesen Teilchenpaketen heraus Lichtteilchen (Photonen) emittiert, die für Experimente genutzt werden sollen. Um die Forderung der Experimentatoren am Speicherring nach möglichst hoher Brillianz (d.h. möglichst vielen Photonen in einem möglichst kleinem Raumwinkel) erfüllen zu können, sollten möglichst viele Teilchen im Bunch auf möglichst engem Raum zusammenkommen. Ausserdem sollte ein möglichst stabiler Photonenfluß über die gesamte Zeitdauer eines Experimentes gewährleistet werden. Es werden deshalb zwei grundlegende (und sich wiedersprechende) Forderungen an den Betrieb eines Synchrotron-Speicherringes gestellt:

  1. möglichst geringe Teilchenverluste, d.h. möglichst lange Lebensdauer (einige Stunden)
  2. möglichst kleine Bunche, also eine möglichst starke Fokussierung der gespeicherten Teilchen


Zur Führung der Teilchen auf einer Bahn, die diese Forderungen erfüllt, dienen verschiedene Magnettypen (BESSYII besteht aus insgesamt 288 Führungs-Magneten, HERA besteht aus 3842 Magneten!).
Dipole dienen zur Ablenkung der Teilchen in den Bogenstücken
Quadrupole sorgen für die transversale Fokussierung
Sextupole dienen zur Anpassung der Quadrupolstärken an die Energie der Teilchen
In den folgenden Abschnitten wird die Funktionsweise der wichtigsten Magnettypen erläutert und damit zusammenhängende Begriffe eingeführt. Um Beispiele für die Größenordnung der auftretenden Parameter zu geben, werden die entsprechenden Werte für die Standard-Einstellung von BESSYII, HERAe und HERAp angegeben. (BESSY: im Allgemeinen aus der BESSYII Parameterliste der Datenbank. Die Werte für HERA im Luminositätsbetrieb stammen aus dem Ursprungsdokument (Parameterliste vom 1.4.1991).)

Nähere Einzelheiten findet man z.B. in ’Basic Course on Accelerator Optics’ (DESY HERA 87-02) von Peter Schmüser. Dort findet man die quantitativen Ableitungen der hier nur qualitativ angegeben Zusammenhänge und sehr viele weitergehende Erläuterungen.

1.1 Dipolmagnete

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Die umlaufenden Ladungen werden in den Bogenstücken von Dipolmagneten auf einen Kreisbogen abgelenkt. Die Dipole sind in Reihe geschaltet und erzeugen ein, in erster Näherung, überall gleiches konstantes Hauptmagnetfeld B (BESSY Dipolstrom: 613 A). Der Krümmungsradius \(\textstyle \rho\) in diesem Feld ergibt sich aus B und dem Impuls \(\textstyle p_0\) der umlaufenden Teilchen (Impuls und Energie stimmen bei hohen Energien praktisch überein):

\(\textstyle \frac {1}{\rho /m}=0{,}2998 \frac {B/Tesla}{p_0/GeV}\) (1)

(BESSYII\[\textstyle p_0\] = 1,7 GeV, B = 1,3 Tesla, ρ = 4,35 m)

Wenn \(l_D\) die Länge des Dipols bezeichnet, so wird ein Teilchen von ihm insgesamt um einen Winkel \(\theta\)

\(\textstyle \theta=\frac {l_D} {\rho}\) (2)

abgelenkt (BESSYII\[l_D\] = 0,855 m , θ = 11,250°, Anzahl der Dipole: 32, Kontrolle: 32 · 11,25° = 360°).

Neben den Hauptdipolmagneten gibt es in einem Speicherring auch eine größere Anzahl von Korrekturdipolen (BESSYII: 112), mit deren Hilfe man auf die Bahnen der Teilchen einwirken kann. Im Gegensatz zu den Hauptdipolen lassen sich Korrekturspulen einzeln ansteuern. Bei BESSYII sind diese "Steerer" in den Sextupolen integriert. Durch Fahren einer einzelnen Korrekturspule erzeugt man eine wellenartige Verformung in der Teilchenbahn. Diese verändert sich dabei über dem gesamten Maschinenumfang. Durch koordiniertes Anfahren mehrerer Korrekturspulen kann man lokale Ausbuchtungen der Bahn (sog. 'abgeschlossene Beulen') erzeugen. Solche Bahndeformationen bleiben auf das Gebiet der Korrekturspulen beschränkt. Mit Beulen kann man z.B. einzelne Hindernisse im Ring umfahren, oder den lokalen Einfluß eines Insertion Devices ändern, ohne eine ansonsten optimale Einstellung der Maschine zu verändern.

1.2 Dispersion

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Man versucht, den Speicherring so zu justieren, daß die Bahn eines umlaufenden Bunches mit Sollimpuls über viele Umläufe gemittelt zentral durch die Quadrupolmagnete geht (dies ist die sog. "Sollbahn" oder auch "closed Orbit" genannt).

Die einzelnen Teilchen im Bunch haben aber alle etwas unterschiedliche Impulse. Es gibt eine Impulsverteilung der Breite ∆p um den Sollimpuls p0 herum deren Breite durch die Eigenschaften der Synchrotronabstrahlung (und damit der durch die Optik gegebenen Magnet-Feldstärken und der Teilchenenergie) bestimmt ist. (BESSYII\[\textstyle \frac {\delta p}{p0} = 8 * 10^{-4}\] bei niedrigem Strahlstrom) Für Teilchen mit einer Impulsabweichung \(\textstyle p=p0+\delta p\) ist nach Gl (1) der Krümmungsradius \(\rho\) geändert (\(\textstyle \delta \rho \sim \delta p\)) und sie gehen daher nicht auf der Sollbahn durch die Quadrupole, sondern mit einer horizontalen Ablage \(\delta x_D\).

Den Zusammenhang zwischen einer Impulsabweichung \(\textstyle \frac {\delta p}{p}\) und der dadurch verursachten Ablage \(\textstyle \delta x_D\) von der Sollbahn stellt die sogenannte "Dispersionsfunktion" D(s) her

\(\textstyle \delta x_D=D(s)\frac{\delta p} {p}\) (3)

(BESSYII: 0 < D ≤ 0,44 m, das Maximum liegt im Achromaten zwischen den beiden Dipolen). Die Variable s bezeichnet eine bestimmte Stelle des Orbits. Wenn C die Orbitlänge bezeichnet, sind also s und s+C dieselbe Stelle. Auf Grund der horizontalen Ablage δxD ändert sich natürlich auch die Orbitlänge C. Ihre Veränderung δC durch die Impulsabweichung wird durch den 'momentum compaction factor' \(\textstyle \alpha\) beschrieben

\(\textstyle \frac{\delta C}{C}= \alpha \frac{\delta p} {p}\) (4)

(BESSYII\[\textstyle \alpha = 7,3 * 10^{-4}\], d.h. Teilchen innerhalb eines einzelnen Bunches haben bis 0,3 mm unterschiedlich lange Umlaufwege, bei höheren Strömen nimmt die Impulsbreite, und damit auch dieser Wert, weiter zu). Die sogenannte "transition Energie" \(\textstyle \gamma _t\) ist definiert durch \(\textstyle {\gamma _t}^2= \frac{1} {\alpha}\)

(BESSYII\[\textstyle \gamma _t\] = 37). \(\textstyle \gamma\) dagegen ist die Energie (bzw. Impuls) der gespeicherten Teilchen, gemessen in Einheiten der Ruheenergie \(\textstyle \gamma = \frac{E} {m _0 c^2}\)

In BESSY ist \(\textstyle \gamma \) = 3327 und liegt somit oberhalb \(\textstyle \gamma _t\). Oberhalb \(\textstyle \gamma _t\) benötigt ein Teilchen für einen ganzen Umlauf länger, wenn es einen höheren Impuls hat, denn dann wirkt sich die Bahnverlängerung aufgrund der Dispersion stärker aus, als die durch die starke Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit nur noch sehr geringe Geschwindigkeitszunahme. Die Änderung der Umlaufszeit T ist gegeben durch

\(\frac{\delta T} {T}=\left (\frac{1}{\gamma_t^2} - \frac{1}{\gamma^2} \right ) \frac{\delta p}{p}\) (5)

1.3 Quadrupole

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Während die Teilchen umlaufen müssen sie ständig fokussiert, d.h. in Richtung Strahlrohrmitte gelenkt werden. Dazu benutzt man Quadrupolmagnete. Ein fokussierender Quadrupol wirkt wie eine Sammellinse in der Lichtoptik. Sie lenkt alle Teilchen die ihn parallel zu seiner Mittelachse durchlaufen1, auf einen Punkt ab, der in der Entfernung f hinter dem Quad auf der Achse liegt (siehe Fig. ). f ist die `Brennweite' des Quadrupols.

Der Ablenkwinkel ϕ in einem Quadrupol nimmt linear mit der Ablage y im Quad zu tanϕ ≈ ϕ = y f

Das bedeutet in einem Quadrupol wächst das Magnetfeld proportional zur Entfernung von der Mittelachse. Die Stärke eines Quadrupols wird mit k bezeichnet. Die Brennweite f ergibt sich aus der Quadrupolstärke k und seiner Länge lq

\(f=\frac {1} {k \cdot l_q}\) (6)

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Figure 1: Ein fokussierender Quadrupol (F) wirkt wie eine Sammellinse, ein defokussierender Quadrupol (D) wie eine Zerstreuungslinse. Die Kombination wirkt insgesamt fokussierend.

Je stärker der Quadrupol ist, umso kürzer ist die Brennweite. (BESSYII - Q1M-Kreis als Beispiel: lq=0.273 m k=2.26 [1/(m2)] , k·lq=0.616 [1/m] , f=1.623 m) Die Quadrupolstärke k ergibt sich aus dem im Quadrupol eingestelltem Strom I und dem Impuls p k ∼ I p

(7) Anmerkung: Je größer der Impuls umso schwächer wirkt der Quadrupol. Dies führt zu dem Effekt der Chromatizität der in (1.8) genauer erläutert wird.

Es wirkt ein einzelner Quad immer nur in einer Ebene fokussierend, in der dazu senkrechten dagegen defokussierend (d.h. er wirkt wie eine Zerstreuungslinse in der Optik). Die defokussierende Eigenschaft wird durch ein negatives Vorzeichen vor der Quadrupolstärke k charakterisiert. Ein fokussierender Quadrupol fokussiert horizontal aber defokussiert vertikal. Ein defokussierender Quadrupol dagegen fokussiert vertikal und defokussiert horizontal. Stellt man einen F- und D-Quad in nicht zu großem Abstand ( < [f/2]) voneinander auf, so wirkt diese Kombination in beiden Ebenen insgesamt fokussierend !! Das Grundgerüst eines modernen Speicherrings besteht deshalb im Wesentlichen aus einer Folge abwechselnder F- und D-Quadrupole (sog. FODO Struktur). Dazwischen befinden sich in den Bogenstücken die Dipole. Eine Gruppe mit jeweils einem halbem F- und D-Quad und davon eingeschlossenen Dipolen bezeichnet man als FODO-`Halbzelle'. Zwei Halbzellen bilden eine Zelle. Die Struktur eines Speicherrings setzen sich aus mehreren identischen Zellen zusammen. BESSYII hat allerdings keine reine FODO, sondern eine optisch kompliziertere Struktur, die der Forderung nach Produktion möglichst gebündelter Synchrotron-Strahlung, mehr entspricht (sog. Achromat-Struktur). (BESSYII: 8 Zellen, Zellenlänge L=30 m, pro Zelle: 2 Dipole 9 Quads, 7 Sextupole). Dabei sind alle Hauptquadrupole in Reihe geschaltet (Kreise: Q1, Q2) Zusätzlich zu den Hauptquadrupolen gibt es eine größere Anzahl einzelner oder in kleineren Gruppen ansteuerbarer Korrekturquadrupole, zur gezielten Veränderung der Fokussierungseigenschaften der Optik.

Optik

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1.4  Etwas Optik

Ein ungestörtes Teilchen mit Sollimpuls p0 umläuft den Speicherring idealerweise auf einer glatten geschlossenen Bahn, dem Sollorbit. Hat es einen abweichenden Impuls, läuft es auf der ebenfalls glatten geschlossenen Dispersionsbahn. Es wirken aber ständig Störungen auf die Teilchenbewegung ein. Dadurch würden die Teilchen von der Sollbahn und gegen die Kammerwand gelenkt, wenn die Quadrupole sie nicht ständig in Richtung Strahlrohrachse zurücklenken würden. In der Realität führen die Teilchen deshalb um den idealen Orbit herum horizontale und vertikale Schwingungen aus, die sogenannten 'Betatronschwingungen'. Die beiden Schwingungsrichtungen kann man in 1. Näherung als unabhängig voneinander betrachten. Deshalb steht die Größe \(y_\beta\) im Folgenden gleichermaßen für die horizontale wie die vertikale Ablage von der idealen Bahn.

Die Betatronschwingung \(y_\beta(s)\) kann folgendermaßen dargestellt werden

\(y_\beta(s)=\sqrt{\epsilon} \sqrt{\beta(s)} \cos \Phi(s)\) (8)

s bezeichnet eine bestimmte Stelle des Orbits.

β(s) ist die sogenannte 'Betafunktion'.

Sie ist eine periodische Funktion der Bahnlänge s (β(s)=β(s+C)) und berechnet sich aus den Eigenschaften der Dipole und Quadrupole (der sog. 'linearen Optik'). Bei BESSYII ist die Betafunktion periodisch mit der Zellenlänge L. Durch die Angabe der Betafunktion ist der Verlauf der Betatronschwingung eindeutig bestimmt. BESSYII-Werte: 0.27 [(m)/( rad)] < β < 20.4 [(m)/(rad)].

Φ(s) ist die Phase der Schwingung. Sie berechnet sich aus der Betafunktion [d/ds] Φ(s)=β(s) . Auch Φ ist periodisch mit der Zellenlänge. Die für die Optik relevante Größe ist der Phasenvorschub pro Zelle ∆Φ (BESSYII: ∆Φ = 800o horizontal, ∆Φ = 300o vertikal).

ϵ ist die 'Emittanz'. Die Emittanz ist das Produkt von Querschnitt und Bündelung eines Teilchen-Bunches in einem Beschleuniger und somit ein Maß für dessen Größe. Die Emittanz bestimmt die Amplitude der Betatronschwingung und sollte möglichst klein sein. In Elektronenspeicherringen (wie BESSYII) ist ϵ durch die Eigenschaften der Synchrotronstrahlung festgelegt. Die Emittanz nimmt innerhalb weniger msec nach Injektion einen festen Wert an, der horizontal um ein Vielfaches über der vertikalen Emittanz liegt. (BESSYII: ϵx=5.2·10−9 πmm mrad). Der Strahlquerschnitt in Elektronenspeicherringen ist somit elliptisch. Die Emittanz wächst in Elektronenenspeicherringen mit dem Impuls an ϵ ∼ p2

Die Amplitude E der Betatronschwingung ist

\(E= \sqrt{{\epsilon} {\beta}(s)}\) (9)

und variiert mit der Bogenlänge s. Die Amplitude ist maximal in F-Quads (β maximal) und minimal in D-Quads (β minimal) und liegt bei hochentwickelten Synchrotron-Strahlungsquellen im μm Bereich. Der maximale Winkel den die Teilchen relativ zur Strahlachse haben können bezeichnet man als 'Divergenz' A. In der Mitte eines Quadrupols gilt

\((\frac{d} {ds}y)_{max} = y'_{max} = A = \sqrt{\frac{\epsilon} {\beta}}\) (10)

Die Divergenz ist am größten in D-Quads und am kleinsten in F-Quads. Eine Korrekturspule die einen bestimmten Kick δy′ erzeugt, erzielt deshalb den größten Effekt, wenn die Spule sich in der Nähe eines Quadrupols befindet, denn die Größe [(δy′)/(y′)], die das Maß für die Stärke der Korrektur ist, wird dort maximal. Horizontale Korrekturelemente sind deshalb in der Nähe von F-Quads installiert und vertikale Korrektoren in der Nähe von D-Quads.

Der Q-Wert

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1.5  Der Q - Wert

Eine sehr wichtige Zahl ist die Anzahl Q von Schwingungen, die ein Teilchen bei einem Umlauf um die Maschine ausführt, der sog. 'Tune' oder 'Q - Wert' Q= Φ(s+C)−Φ(s) 2π

(11) (BESSYII: Qx=17.8, Qz=6.7) Multipliziert man diese Zahl mit der Umlaufsfrequenz f0 der Elektronen (BESSYII: f0=1.25 MHz), so erhält man die Frequenz der Betatronschwingung fβ fβ=Q f0 (12) Oft subtrahiert man von Q den ganzzahligen Anteil und bezeichnet den fraktionellen Anteil Q′ als Tune (0 < Q′ < 1). Der Grund besteht darin, daß ein einzelner Monitor an einer festen Stelle im Ring die Betatronschwingung als eine harmonische Ablageschwingungen mit einer Frequenz Q′f0 sieht. Durch eine lokale Messung läßt sich daher immer nur der fraktionelle Anteil des Tunes bestimmen. Bei verschwindender Betatronamplitude würde ein Monitor von einem umlaufenden Bunch ein Signal S aufnehmen, daß aus Vielfachen der Umlaufsfrequenz besteht S ∼ ∑ n sin2 π n f0 wenn yβ=0 Kommt noch die Betatronschwingung hinzu so ist dieses Signal mit dem harmonischen Ablagesignal moduliert und erhält Seitenbänder im Abstand Q′ω0 (ω0=2 πf0) S ∼ cosQ′ω0 ∑ n sinnω0 ∼ ∑ n sin(n±Q′)ω0 Ein am Monitor angeschlossener Fourier-Analysator, der alle Vielfachen der Grundfrequenzen des Monitorsignals filtert, würde daher 2 niedrige Frequenzen anzeigen: Q′ω0 und (1−Q′)ω0. Die Frequenz (1−Q′)ω0 heißt 'Spiegelfrequenz'.

Resonanzen

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1.6  Resonanzen

Die Betatronschwingung führt niemals auf eine geschlossene Bahn. Wäre die Umlaufsbahn der Teilchen nämlich geschlossen dann würde die Betatronschwingung eine lokale Störung (z.B. einen Feldfehler) bei jedem Umlauf in derselben Phase passieren. Die Wirkung der Störung würde sich dadurch bei jedem Umlauf addieren und der Strahl ginge rasch verloren. Dieses Phänomen bezeichnet man als 'Resonanz'. Der Q-Wert kann also keine ganze Zahl sein. Aus ähnlichen Grüden kann der Tune auch kein einfacher Bruch sein Q′ ≠ 0, 1 2 , 1 3 , 2 3 ... denn das hieße, daß sich die Bahn nach 2,3,... Umläufen wieder schließt, was wiederum auf eine Resonanz führt. Bei niedrigen Resonanzen Q′=0,[1/2],[1/3],[2/3] genügt bereits ein Tune in der Nähe des kritischen Wertes um die Lebensdauer erheblich zu verschlechtern. Höhere Resonanzen sind schwächer und z.B. Q′=[1/7] hat meist nur noch geringen Einfluß2

Der Tune

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1.7  Tuneänderung

Der Tune Q ändert sich um einen Wert ∆Q wenn sich die Stärke eines Quadrupols bei s0 (mit der Länge lq), um den Wert ∆k ändert. Dieser Zusammenhang wird beschrieben durch die wichtige Beziehung ∆Q= 1 4π β(s0) lq ∆k (13) F-Quads beeinflussen also hauptsächlich den horizontalen und D-Quads hauptsächlich den vertikalen Tune. Man kann auch Änderungen in mehreren Quadrupolen so kombinieren, daß nur der horizontale oder vertikale Tune geändert wird (sog.'Q-Beulen'). Mit der Beziehung (13) kann man z.B. die Betafunktion ausmessen, indem man die Änderung des Tunes mit den Quadrupolströmen mißt (∆k=[(∆I)/I] k) und dann (13) nach β auflöst.

1.8 Chromatizität

Wir hatten bereits bei Gl (7) bemerkt, dass die Fokussierungsstärke \(k\) der Quadrupole vom Impuls \(p\) abhängt. Eine Impulsabweichung \(\textstyle \frac {\delta p} {p}\) führt zu einer Änderung \(\textstyle \delta k\) in jedem Quadrupol

\(\delta k=-k \frac {\delta p} {p}\) (14)

Nach Gl (13) gibt dies eine Tuneverschiebung (\(\beta_i, k_i\) sind die entsprechenden Werte in den Quadrupolen)

\(\delta Q= - \frac {1} {4 \pi} \left (\sum_{alle Quads}\beta_i k_i l_q \right ) \frac {\delta p} {p}\) (15)

Die Proportionalitätskonstante zwischen Tune und Impulsabweichung wird als 'Chromatizität' \(\xi\) (xi) bezeichnet

\(\delta Q = \xi \frac {\delta p} {p}\) (16)

Ohne Gegenmaßnahmen gilt

\(\xi = - \frac {1} {4 \pi} \sum_{alle Quads}\beta_i k_i l_q\) (17)

Dies ist die 'natürliche Chromatizität'. Sie ist negativ. Eine von 0 verschiedene Chromatizität überführt die Streuung der Impulse in eine Streuung des Tunes. Wenn die Chromatizität zu groß ist (\(|\xi| ∼\) 5...10), würde der resultierende Tunebereich auch Resonanzwerte überdecken und die Lebensdauer würde schlecht werden. Daher wird die natürliche Chromatizität mit Sextupolen kompensiert.

(BESSYII: \(\xi_x\)=−52,0, \(\xi_z\)=−26,0); (HERA p: \(\xi_x\)=−64,3, \(\xi_z\)=−66,3); (HERA e: \(\xi_x\)=−58,6, \(\xi_z\)=−63,45); (PETRAIII: \(\xi_x\)=−, \(\xi_z\)=−); (DESYII: \(\xi_x\)=−, \(\xi_z\)=−)

1.9 Sextupole

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In 1. Ordnung wirkt ein Sextupol wie ein Quadrupol dessen Stärke \(k'\) linear mit einer horizontalen Ablage \(x_S\) im Sextupol zunimmt. (Daneben hat ein Sextupol allerdings auch noch etliche andere (unerwünschte) Wirkungen. Deshalb hat man lieber viele kleine als einige wenige große und dafür stark erregte Sextupole.)

\(k'=m\cdot x_S\) (18)

Der Proportionalitätsfaktor \(m\) ist die so genannte 'Sextupolstärke' (BESSYII : S1-Kreis \(\textstyle \colon m=9{,}3 \frac {1}{m^3}\); HERA p \(\textstyle \colon m=5{,}0 \frac {1}{m^3}\)).

Ein Teilchen mit Impulsabweichung läuft auf der Dispersionsbahn und hat deshalb eine horizontale Ablage \(\textstyle \delta x_D=D(s)\frac {\delta p}{p}\). Die effektive Fokussierung \(k'\) durch den Sextupol wird dadurch impulsabhängig

\(k'=m D(s) \frac {\delta p}{p}\) (19)

d.h. eine Impulsabweichung führt zu einer zusätzlichen Fokussierung und damit Tune-Verschiebung. Durch Sextupole kann man so künstlich (positive!) Chromatizität erzeugen

\[\xi_{sext}=\frac{1}{4\pi} \sum_{alle Sextupole}\beta_i D_i m_i l_s\] (20)

Man kann die Sextupolstärke so wählen, daß die natürliche Chromatizität ungefähr kompensiert wird. Beste Betriebsbedingungen hat man bei einer leicht positiven Chromatizität (\(\xi \approx 1...2\)). Sextupole in der Nähe von F-Quads beeinflussen hauptsächlich den horizontalen Tune und damit die horizontale Chromatizität, in der Nähe von D-Quads die vertikale Chromatizität. Deshalb gibt es 2 sogenannte 'Sextupolfamilien', je eine für jede Schwingungsrichtung.

Strahlungseffekte

Kladde zum Sammeln von Schnipseln aus verschiedenen Quellen

Quelle: R.D. Kohaupt, DESY H-70/21, Sept. 1970, S.66

Die Wechselwirkung mit dem elektromagnetischen Strrahlungsfeld bewirkt für den in einem Speicherring umlaufenden Teilchenstrahl nicht nur einen Energieverlust, der in den Beschleunigungsstrecken (Cavities) zur Erhaltung des stationären Zustands kompensiert werden muss, sondern sie bestimmt wesentlich die stationäre Strahlausdehnung, d.h. die "natürlichen" Strahldimensionen, deren Kenntnis zur optimalen Auslegung eines Speicherrings erforderlich ist.

Klassischer Strahlungsverlust

Quelle: R.D. Kohaupt, DESY H-70/21, Sept. 1970, S.73

Betatronschwingung.PNG

Ein Elektron bewegt sich auf einer Kreisbahn und emittiert spontan Photonen. Der damit einhergehende Energieverlust regt sowohl horizontale als auch vertikale Betatronschwingungen an. Die Auslenkung als Funktion des Bahnparameters s, bezogen auf die Sollbahn beträgt bei Betrachtung der horizontalen Betatronschwingungen: \[ x=\sqrt{\epsilon_x \cdot \beta_{x(s)}} \cdot \cos(\phi_{x(s)} +\delta) \] \[ \frac{dx}{ds}=x' \]

Der Momentanimpuls des Teilchens sei \( \vec{p} \), seine Orbitalkomponente \( \vec{p_s} \) und die dazu senkrechte Transversalkomponente \( \vec{p_T} \). Der Winkel zwischen \( \vec{p} \) und \( \vec{p_s} \) ist \( \frac{dx}{ds}=x' \) und kennzeichnet die "Divergenz" des Strahles.

Infolge Strahlungsverlustes verliert das Teilchen die Energie \[ \delta E= \frac{c^2}{v} \delta p \] Für kleine Winkel gilt: \[ \delta p_T= x' \delta p \]