Smith-Diagramm

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Das Smith-Diagramm (engl. Smith Chart)ist ein Hilfsmittel der komplexen Wechselstromrechnung. Mit ihm kann die Berechnungen komplexer Widerstände (Impedanzen) auf eine geometrische Konstruktion zurückgeführt werden. Es wurde im Jahre 1939 von Phillip Smith (1905-1987) entwickelt. In der Hochfrequenztechnik wurde das Smith-Diagramm zur Berechnung von Impedanzanpassungen verwendet. Heuzutage wird es weniger zur Berechnung -das machen Rechner-, dafür mehr zur Darstellung von Schaltungs- oder Bauteileigenschaften verwendet. Bei gängigen Hochfrequenz-Netzwerk-Analysatoren wir es zur Darstellung der Streuparameter S11 und S22 angeboten.


Einführung


Die Gaußsche Zahlenebene

Impedanzen lassen sich in einem rechtwinkligen Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen, wie es in der nachstehenden Abbildung gezeigt ist. Wirkwiderstände werden auf der horizontalen Achse aufgetragen und Blindwiderstände auf der vertikalen Achse. Induktive Blindwiderstände XL=jωL sind positiv und werden deshalb auf der positiven, vertikalen Achse aufgetragen, kapazitive Blindwiderstände XC=1/(jωC) sind negativ und werden dementsprechend auf der negativen Achse aufgetragen.

Zur Verallgemeinerung der Darstellung, sind die Impedanzen der nachstehenden Abbildung auf einen Bezugswiderstand normiert. Prinzipiell kann der Bezugswiderstand beliebig sein. In der HF-Technik wählt man sinnvollerweise den Bezugswiderstand gleich dem Leitungs-Wellenwiderstand; und der beträgt in der Regel ZL= 50 Ohm.

Smith-Diagramm.bmp


Die Größe der oben beispielhaft dargestellten Impedanzen ist:

Beispiele: Impedanz Z1 Impedanz Z2
Normierte Impedanzen: Z1/ZL = 1,5 + j 0,75 Z2/ZL = 0,5 - j 1,0
Entnormierte Impedanzen: Z1 = 75Ω + j 37,5Ω Z2 = 25Ω - j 50Ω
Ersatzschaltung: Serienschaltung aus einem 75 Ohm Widerstand und einer Induktivität mit 37,5 Ohm Blindwiderstand. Serienschaltung aus einem 25 Ohm Widerstand und einer Kapazität mit 50 Ohm Blindwiderstand.

Übergang von der Gaußschen Zahlenebene zum Smith-Diagramm


In der HF-Technik muss man häufig Leitungstransformationen berechnen. Typische Fragestellungen sind:

  • Eine Leitung mit dem Wellenwiderstand ZL ist mit der Impedanz Z1 abschschlossen. Wie groß ist der Reflexionsfaktor?
  • Was muss man tun, um die Impedanz Z1 reflexionsfrei an den Wellenwiderstand der Leitung anzupassen?
  • Eine Impedanz besteht aus Serienschaltung von R1 und L1. Welche Parallelschaltung von R2 und L2 ergibt dieselbe Impedanz?
  • bitte weitere Fragestellungen ergänzen


Die Darstellung von Impedanzen rechtwinkligen Koordinatensystem ist zur Lösung derartiger Fragestellungen wenig hilfreich.

Das Smith-Diagramm kann dagegen universell für derartige Transformationsrechnungen benutzt werden. Wie universell und simpel das Smith-Diagramm angewndet werden kann, wird im Abschnitt Anwendung anhand einiger Beispiele aufgezeigt. Zunächst noch einige Sätze zur Konstruktion des Smith-Diagramms.

Im Smith-Diagramm sind die positive und negative Blindwiderstandsachse jeweils zu einem Halbkreis gebogen und bei X=∞ mit der R=∞ der Wirkwiderstands-Achse vereinigt. Sämtliche Impedanzen können dadurch im Innern des Kreises dargestellt werden. Durch die geschickte Skalierung der Achsen ist es möglich, viele, sonst im wahrsten Sinne des Wortes komplexe Fragestellungen, ganz simpel grafisch zu lösen.

Nachstehende Abbildung zeigt ein Smith-Diagramm, in dem die beiden Beispiel-Impedanzen Z1 und Z2 aus dem anfangs gezeigten rechtwinkligen Koordinatensystem eingetragen sind. Die beispielhaft gestellte Frage: "Eine Leitung mit dem Wellenwiderstand ZL ist mit der Impedanz Z1 abschschlossen. Wie groß ist der Reflexionsfaktor?" kann direkt abgelesen werden. Der Reflexionsfaktor ist im Smith-Diagramm der Abstand vom Mittelpunkt zum Umfang. Der Mittelpunkt entspricht dem Reflexionsfaktor r=0, da ja hier R=ZL ist. Alle Punkte auf dem Umfang haben den Reflexionsfaktor von |r|=1 (100%). Der Winkel zur horizontalen Achse entspricht dem Reflexionsfaktor-Winkel und kann mit einen Geo-Dreieck abgelesen werden.


Beispiel Z1:

Der Mittelpunktabstand von Z1/ZL geteilt durch den Diagramm-Radius beträgt 0,35. Der Reflexionsfaktor ist somit |r1|=0,35 bzw. 35%.

Der Winkel zwischen der Linie vom Mittelunkt → Z1/ZL und der horizontalen Achse beträgt 40° der Reflexionsfaktor-Winkel ist somit 40°.

Smith-Diagramm 1.bmp



Anwendungen



Hier ist noch dran zu arbeiten.

Wer hätte da 'mal ein paar schöne Beispiele?


Beispiel 1: Anpassung einer komplexen Last an den Generator

Smith-Diagramm 2.bmp

Smith-Diagramm 3.bmp