Shunt-Impedanz

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  • Def. Rs ungenau.
  • Überleitung Rp=>Rs fehlt.


Eine Kavität verhält sich nahe seiner Resonanzfrequenz fR wie ein elektrischer Schwingkreis mit sehr hoher Güte Q


Q = fR/B = RS/Z


Dabei ist B die 3-dB-Bandbreite. Eine Kavität kann in ihrem Verhalten durch eine Parallelschaltung von RS, L, und C beschrieben werden. Bei Resonanz sind die Beträge der Impedanzen


Z = ωL = 1/(ωC).


Die ohmschen Verluste der Kavität werden im Ersatzschaltbild durch die Shunt-Impedanz RS repräsentiert. Bei Resonanz wird die gesamte eingekoppelte mittlere HF-Leistung PHF in der Shunt-Impedanz RS in Wärme umgesetzt. Dabei entsteht im Cavity die Spannung


UC = √(2PHFRS)


Verlustleistung an einer resonanten Struktur

Das Frequenzspektrum des Strahlstromes in unseren Kreisbeschleunigern reicht von der Buchfolgefrequenz fBunch = c / sBunch bis in den Bereich einiger GHz. Durchquert der Strahlstrom geometrische Strukturen, so kann er diese zu resonanten Schwingungen anregen → Beam-Loading. Die Schwingungen sind aufgrund der endlichen Leitfähigkeit der Struktur im Allgemeinen gedämpft. Die Abklingzeitkonstante ist jedoch oft wesentlich größer, als die Zeit zwischen zwei Bunch-Durchquerungen, so dass sich eine stationäre Schwingung aufbaut.

Die nachstehende Abbildung zeigt das elektrische Ersatzschaltbild einer resonanten Struktur. Der Widerstand RS repräsentiert die Kreisverluste. Es sei angenommen, dass die Bunchfolgefrequenz eine Subharmonische der Resonanzfrequenz der Struktur ist. In diesem Fall müssen L und C nicht weiter betrachtet werden.

Shunt-Impedanz.bmp


Weiterhin sei angenommen:

  • Der Strahlstrom IBdc (mittlerer Gleichstrom, Ladungssumme aller Bunche multipliziert mit Umfauffrequenz) durchquert die durch das obige Ersatzschaltbild repräsentierte Struktur.
  • Die Resonanzkreisfrequenz der Struktur soll ωR = ωHF = 1/√(LC) sein.
  • Das Verhältnis Bunche-Länge zu Bunch-Abstand soll äußerst klein sein,

so dass man für das Spektrum des Strahlstromes schreiben kann:


i(t) = IBdc + 2*IBdc*[cos(ωUt) + cos(2ωUt) + cos(3ωUt) + ... + cos(ωHFt) + ... + cos(nωUt)]


Die Spannung u(t) ist praktisch nur bei der Resonanzkreisfrequenz über RS vorhanden. Deshalb kann man schreiben:


u(t) = RS * 2*IBdc* cos(ωHFt)


Die Spannung ist sinusförmig und hat die Amplitude (Scheitelwert) U = RS * 2*IBdc.

Die Verlustleistung am Widerstand RS ist PV =0,5*RS*(2*IBdc)2 . Der Faktor 0,5 rührt daher, dass 2*IBdc der Scheitelwert der h-ten Harmonischen der Umlauffrequenz ist.

Drückt man die Verlustleistung mit U anstatt IBdc aus, dann folgt:


PV = U2/(2RS)


mit:

  • PV: Verlustleistung von RS
  • U: Scheitelwert der sinusförmigen Spannung über RS
  • RS: Shunt-Impedanz