Schwingung (gedämpfte)

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Ein schwingungsfähiges System (hier: System 2.Ordnung, oder auch P-T2-Glied) weist sich dadurch aus, dass es auf eine "schlagartige" Anregung mit einer Oszillation antwortet. Aufgrund natürlicherweise immer vorhandener Dämpfung klingt die Oszillation mehr oder weniger schnell nach einer Exponentialfunktion ab. Jede Schwingungsperiode ist um denselben prozentualen Betrag kleiner als die vorhergehende Schwingungsperiode. Die Frequenz der Oszillation (Resonanzfrequenz, Eigenfrequenz) ist dabei konstant.

Betrachtung im Zeitbereich

Nachstehendes Diagramm zeigt eine abklingende Schwingung im Zeitbereich. Die Schwingungsamplitude \( A_{(t)}\) nimmt entsprechend der Funktion \[ A_{(t)}=A_0 \cdot e^{-(t/\tau)} \] ab.

\( A_0\): Anfangsschwingungsamplitude bei t=0
\( A_{(t)}\): Schwingungsamplitude zum Zeitpunkt t
\( \tau \): Abklingzeitkonstante
\( T_0\): Periodendauer
\( f_0\): Resonanzfrequenz \( f_0 = \frac {1}{T_0} \)

Gebräuchlich ist auch die Darstellung mit der Abklingkonstanten \( \delta = 1/\tau \)

\[ A_{(t)}=A_0 \cdot e^{-(\delta t)} \]


Schwingung (gedämpfte).bmp


Das Größenverhältnis zweier aufeinanderfolgender Schwingungsamplituden beträgt

\[ \frac {A_{(t+T_0)}} {A_{(t)}} = e^{-(T_0/\tau)} \]


oder mit der Schwingungs-Güte \( Q=\pi f_0 \tau \) ausgedrückt:

\[ \frac {A_{(t+T_0)}} {A_{(t)}} = e^{-(\pi/Q)} \]

Betrachtung im Frequenzbereich

Nachstehendes Diagramm (Bode-Diagramm) zeigt das Verhalten eines schwingungsfähigen Systems im Frequenzbereich. Solange das System mit einer Frequenz erregt wird, die sehr viel niedriger als die Resonanzfrequenz ist, folgt die Systemamplitude \( A_{(f)} \) der Anregungsamplitude \(A\) . Kommt die Anregungsamplitude größenordnungsmäßig in die Nähe der Resonanzfrequenz, so macht sich das zuerst in einem nachhinken der Systemphase \( \phi_{(f)} \) gegenüber der Anregungsphase \(\phi\) bemerkbar. In der Nähe der Resonanzfrequenz hängt das Verhalten stark von der Systemdämpfung ab. Ist die Dämpfung groß (\( D > 1/\sqrt{2} \)), dann wird die Schwingungsamplitude des Systems bei konstanter Anregungsamplitude und steigender Frequenz immer kleiner. Ist die Dämpfung klein (\( D < 1/\sqrt{2} \)), dann kommt es zu einer Resonanzüberhöhung bevor die Schwingungsamplitude des Systems dann bei konstanter Anregungsamplitude und steigender Frequenz wieder sinkt. Die Resonanzüberhöhung ist um so höher, je kleiner der Dämpfungsgrad \(D\) ist.

Schwingung (gedämpfte) 1.png


\( D = 1 \): Aperiodischer Grenzfall. Die Sprungantwort weist gerade keine Überhöhung (Überschwingung) mehr auf.

\( D = 1/\sqrt{2} \): Der Amplitudengang weist gerade keine Resonanzüberhöhung mehr auf.

Mathematische Zusammenhänge

Frequenzgang PT2-Glied:

\[ A_{(j \omega)} = \frac {1} {1 + j \omega 2DT + (j \omega)^2 T^2} \]


Resonanzüberhöhung:

für \( 0 < D < 1/\sqrt{2} \)),

\[ A_{max}/A = \frac {1} {2D \sqrt{1-D^2}} \] \[ f_0 = \frac {1} {2 \pi T} \sqrt{1-D^2} \]

Mit guter Näherung gilt (Fehler <5% wenn Q>2; Fehler <1% wenn Q>4) \[ A_{max}/A \approx Q \]\[ f_0 \approx \frac {1} {2 \pi T} \]

Umrechnung verschiedener Größen zur Beschreibung des Dämpfungsverhaltens

Dämpfungsmaß:
\( D = 1/(2Q) \)
\( D = 1/(\tau \omega_0) \)
\( D = \delta / \omega_0 \)

Dämpfungs- oder Abklingkonstante:
\( \delta = 1/\tau \)

Dämpfungszeit- oder Abklingzeitkonstante:
\( \tau = 1/(\pi B) \)

Güte:
\( Q = f_0/B \)