Reglereinstellwerte, Bestimmung aus dem Bode-Diagramm

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In einem Regelkreis besteht die Gefahr der Instabilität. Ursachen für die Instabilität sind die Verzögerungen bei der Signalübertragung und eine Kreisverstärkung K0 = KRegler* KStrecke > 1. Um optimale Regelungsergebnisse zu erhalten (möglichst schnelle Störungsausregelung ohne Überschwingen), werden Regler folgendermaßen dimensioniert:


  • Auswirkungen der Regelstreckenverzögerungen werden beim PID-Regler durch die Wahl von Nachstellzeit TN und Vorhaltezeit TV möglichst breitbandig kompensiert (bei Einsatz eines PI-Reglers steht nur TN zur Kompensierung einer Streckenverzögerung zur Verfügung. PI-Regelungen sind daher im allgemeinen langsamer als PID-Regelungen).
  • Kreisverstärkung wird mittels KR so groß wie möglich gemacht. Die Kreisverstärkung eines Regelkreises ist frequenzabhängig. Regelstrecken haben im allgemeinen einen Tiefpasscharakter. Durch das Tiefpassverhalten sinkt die Kreisverstärkung zu höheren Frequenzen. Außerdem kommt es durch Signalverzögerung zur Phasendrehung des rückgekoppelten Signales. Die maximale Kreisverstärkung eines stabilen Regelkreises ist erreicht, wenn sie bei der Frequenz, bei der sich die Phase des rückgekoppelten Signales um 120°...140° gedreht hat, den Wert 1 besitzt.


Beispiel zur Dimensionierung eines Regelkreises

Regelkreis mit PID-Regler und einer Strecke mit Tiefpassverhalten 3.Ordnung

  • Der PID-Regler ist durch die Reglerparameter KR, TN und TV charakterisiert,
  • die Regelstrecke ist durch die Proportionalverstärkungen KS und die Zeitkonstanten TS der einzelnen Komponenten charakterisiert.


Bode-Diagramm.bmp

PID-Regler. Parallelschaltung und Umrechnung in Serienschaltung

Ein PID-Regler wird in der Praxis im allgemeinen durch die Parallelschaltung eines Verstärkers (P-Zweig), eines Integrators (I-Zweig) und eines Differenzierers (D-Zweig) realisiert.


Bode-Diagramm 1.bmp


Zur Stabilitätsuntersuchung und Dimensionierung eines Reglers ist es hilfreich die Parallelschaltung von Verstärker, Integrierer und Differenzierer in eine äquivalente Serienschaltung umzurechnen.


Bode-Diagramm 2.bmp

In der äquivalenten Serienschaltung besteht der PID-Regler aus einem Verstärker, einem Integrierer und zwei unterschiedlichen PD-Gliedern (PD-Glieder haben Hochpassverhalten). Die Parameter der Serienschaltung K*R, Ta und Tb, können in die Parameter der Parallelschaltung umgerechnet werden.


Bestimmung von Ta und Tb

Die Zeitkonstante Ta wird gleich der größten Streckenzeitkonstante gewählt. Im betrachteten Fall soll TS1 die größte Streckenzeitkonstante sein. Tb wird gleich der zweitgrößten Streckenzeitkonstante gewählt. Im betrachteten Fall soll das TS2 sein. Durch diese Dimensionierung hebt das erste PD-Glied, wegen seines Hochpaßverhaltens, die Wirkung des ersten Strecken-Tiefpasses und das zweite PD-Glied die Wirkung des zweiten Streckentiefpasses auf. Der Signalflußplan vereinfacht sich dadurch erheblich.


Vereinfachung des Signalflußplanes durch geschickte Dimensionierung


Ta = TS1 Tb = TS2 KS = KS1 * KS2 * KS3


Bode-Diagramm 3.bmp


Bestimmung von K*R

Zur Bestimmung von K*R ist die Kenntnis der maximal zulässigen Kreisverstärkung erforderlich. Die maximale Kreisverstärkung kann aus dem Frequenzgang des offenen Regelkreises ermittelt werden.


Bode-Diagramm 4.bmp


Am einfachsten benutzt man dazu einen Frequenzgenerator und ein 2-kanaliges Oszilloskop. In w speist man ein Sinussignal veränderlicher Frequenz ein. Auf dem Oszilloskop stellt man die Signale w und x dar. Jetzt erhöht man die Frequenz soweit, bis die Phasendifferenz zwischen den beiden Signalen 120°...140° beträgt. K*R muss nun so gewählt werden, dass das Amplitudenverhältnis x/w der beiden Signale höchstens 1 beträgt (Phasenrand-Bedingung). Dann erhöht man die Frequenz weiter, bis die Phasendifferenz zwischen den beiden Signalen auf genau 180° angewachsen ist. Das Amplitudenverhältnis x/w der beiden Signale darf jetzt höchstens 0,3 (-10dB) betragen (Amplitudenrand-Bedingung). Ist x/w > 0,3, dann muss K*R entsprechend verkleinert werden.



Regler-Dimensionierung (Beispiel mit Zahlen)


Die Regelstrecke


Gegeben ist eine Regelstrecke mit Tiefpassverhalten 3.Ordnung.

KS1 = -1dB KS2 = -2dB KS3 = -3dB
TS1 = 20 µs TS2 =10 µs TS3 = 10 µs


Bode-Diagramm 5.bmp


Bode-Diagramm der Regelstrecke

Bode-Diagramm 6.bmp


Bode-Diagramm 7.bmp


Der Regler

Als geeigneter Regler wird ein PID-Regler ausgewählt

Bode-Diagramm 8.bmp


Die Regler-Zeitkonstanten werden entsprechend der Strecken-Zeitkonstanten gewählt; Ta gleich der größten und Tb gleich der zweitgrößten Strecken-Zeitkonstante.


Ta = TS1 = 20 µs

Tb = TS2 = 10 µs

KR* wird später aus dem Bode-Diagramm ermittelt und wird zunächst auf 0 dB gesetzt.


Bode-Diagramm des PID-Reglers

Bode-Diagramm 9.bmp

Bode-Diagramm 10.bmp


Regler mit Regelstrecke


Bode-Diagramm der Serienschaltung von PID-Regler und Regelstrecke

Als letzter Reglerparameter ist nun noch die Proportionalverstärkung KR* zu bestimmen. Mit KR* kann der gesamte Amplitudenfrequenzgang im Bode-Diagramm in vertikaler Richtung "justiert" werden. KR* wird so gewählt, dass der Amplitudengang die 0-dB-Linie an der Stelle schneidet, wo die Phase 120°...140° beträgt. Aus dem nachstehenden Bode-Diagramm ist zu ersehen, dass dazu der Amplitudengang um 9 dB angehoben werden muss.

Deshalb: KR* = 9 dB


Bode-Diagramm 11.bmp

Bode-Diagramm 12.bmp


Nachstehend der Amplitudengang nach dem Anheben um KR* = 9 dB . Die Frequenz bei der der Amplitudengang die 0-dB-Linie schneidet heißt Durchtrittsfrequenz.

Bode-Diagramm 13.bmp


Umrechnung der Serienschaltungs-Regler-Parameter in die Parallelschaltungs-Parameter


Aus dem Bode-Diagramm ermitelte Parameter des PID-Reglers in Serienschaltung:

Ta = TS1 = 20 µs

Tb = TS2 = 10 µs

KR* = 9 dB


Berechnung der Nachstellzeit TN


\(T_N = T_a + T_b\)


\(\to T_v=6,7 \mu s \)


Berechnung der Proportionalverstärkung KR

KR* = 9 dB

Vor der Umrechnung KR* → KR muss der dB-Wert in den linearen Wert umgerechnet werden


KR* = 10(9dB/20dB) = 2,8


\(K_R = K_R^* \bullet {T_a \over T_N} = K_R^* \bullet {T_V \over T_b}\)


KR = 2,8 * 20µs/30µs = 1,88

bzw.

KR = 2,8 * 6,7µs/10µs = 1,88

\(\to K_R = 20+log(1,88) =5,5 dB\)