Regelung der Cavity-Temperatur

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Kühlsystem einer PETRA 7-Zeller Cavity

Schematische Darstellung

Schema Cavity-Kühlung.PNG

Realitätsnahe Darstellung

Skizze Cavity-Kühlung.PNG

Frequenz-Sweep für Bode-Diagramm

Parameter Farbe Signalname Skalierung Mittelwert
Eingangssignal rot P3Cav_VentilSpannung [SR_Cy5] 1 V/Div 6 V
Ausgangssignal grün P3CavZelleTempMittel [SR_Cy5] 0,2 °C/Div 32,5 °C
Kühlwassertemperatur blau Kuehlturm_KT3_Ist [KT3_2] 0,15 °C/Div 27 °C


F-Gang Sweep Rgl-Strecke 2014-09-15.PNG
Messung vom 15.09.2014 14:30 bis 16:16 Uhr am Cavity PE-SR_Cy5

Periodendauer
Anregung
[min]
Frequenz
[mHz]
Cavity-Temperatur
(Min/Max) [°C]
\( F_S=\frac{\Delta T_{Cy}}{\Delta U_{Ventil}}\) Amplitudengang
[dB]
Phasengang
[Grad]
Bemerkung
20 0,833 31,57 / 33,01 0,72 0 -40
10 1,67 31,95 / 32,72 0,385 -5 -70
5 3,33 32,16 / 32,66 0,25 -9 -90
2 8,33 32,37 / 32,43 0,03 -28 -180
1 16,67 32,5 / 32,54 0,01 -37 -270 \( \Delta U_{Ventil}=4 V \)
0,5 33,34 kein verwertbarer Effekt \( \Delta U_{Ventil}=5 V \)

Bewertung

Der Amplitudengang sinkt mit einer Steilheit von deutlich mehr als -20 dB/Dekade, aber weniger als -40 dB/Dekade. Das bedeutet, dass die Regelstrecke im Wesentlichen aus zwei Verzögerungsgliedern 1. Ordnung besteht, deren Zeitkonstanten nicht allzuweit auseinanderliegen.

Der Phasengang lässt sich wegen der nichtharmonischen Kurvenverläufe nur sehr grob aus dem Frequenz-Sweep ablesen. Die Frequenz (\( f= \frac {1}{2min} \)), bei der sich die Ausgangssignalphase um 180° gegenüber dem Anregungssignal gedreht hat, ist jedoch sehr exakt ablesbar. Da bei 180° Phasendrehung der Amplitudengang erst um 28 dB anstatt um > 60 dB gesunken ist und außerdem die Phase mit steigender Frequenz stetig weiterdreht, kann man vermuten, dass noch eine für eine Stabilitätsbetrachtung relevante Totzeit im Spiel ist.

Als erstes Zwischenergebnis kann man festhalten:
Das Strukturbild-Modell der Regelstrecke muss enthalten

  • zwei Verzögerungsglieder 1. Ordnung
  • Eine Totzeitglied

Fit mittels Modell aus zwei \( T_1 \)-Gliedern und einem \( T_t \)-Glied

Amplitudengang

Amplitudengang aus f-Gang Sweep.PNG


Phasengang

Phasengang aus f-Gang Sweep.PNG

Herangehensweise:

  1. Der gemessene Amplitudengang der Regelstrecke \( F_S \) sinkt mit -28 dB/Dekade. Das deutet auf ein Tiefpassverhalten mindestens 2. Ordnung, wobei die beiden Verzögerungszeitkonstanten deutlich verschieden sein müssen, da sonst \( F_S \) mit -40 dB/Dekade sinken würde.
  2. Für den Fit wurden die beiden Zeitkonstanten \( T_{1.1} \) und \( T_{1.2} \) zweier Verzögerungsglieder 1. Ordnung so iteriert, dass sich der gemessene Amplitudengang einstellt.
  3. Der gemessene Phasengang dreht stärker, als durch die beiden Verzögerungsglieder 1. Ordnung zu erwarten wäre. Schlussfolgerung: der zusätzliche Phasengang wird durch eine Totzeit verursacht. Aus dem Differenzphasengang der Messwerte und der beiden Tiefpässe wurde die Totzeit \( T_t \) berechnet.


Strukturbild der Regelstrecke mit den per Bode-Diagramm-Fit ermittelten Strecken-Parmetern Strukturbild Modell Cavity-Strecke.png

Stellglied-Nichtlinearität

Herleitung der Übertragungsfunktion \( T_{Zelle}=f \left ( U_{Ventil} \right ) \)

Der Kühlwasservolumenstrom durch den Cavity-Body ist linear von der Steuerspannung des Stellventils abhängig.

\( Q_{CyBody} = Q_{max} - \frac {Q_{max}-Q_{min}}{10V} \cdot U_{Ventil} \)

Die Kühlwasser-Rücklauftemperatur in Leitung(3) ist um den Betrag der zugeführten HF-Verlustleistung höher als die Kühlwasser-Vorlauftemperatur in Leitung(1) .

\( T_{RL_{H_2O}} = T_{VL_{H_2O}} + \frac {P_{diss}}{\rho \cdot c_p \cdot Q_{CyBody}} \)

Die Cavity-Zellentemperatur (Oberfläche zwischen den Kühlkanälen) entspricht ungefähr der Kühlwasser-Rücklauftemperatur.

\( T_{Zelle} \approx T_{RL_{H_2O}} \).

Daraus folgt:

\[ T_{Zelle} = T_{VL_{H_2O}} + \frac{P_{diss}}{\rho \cdot c_p \left ( Q_{max} - \frac {Q_{max}-Q_{min}}{10V} \cdot U_{Ventil} \right )} \].

Setzt man die Parmeter der Tabelle ein, ergibt sich der im nachfolgenden Diagramm dargestellte Verlauf

Parameter Wert Einheit
\(P_{diss}\) 50 kW
\(T_{VL_{H_2O}}\) 30 °C
\(\frac {Q_{max}-Q_{min}}{10V}\) 0,65 m³/(h*V)
\(Q_{max}\) 7 m³/h


Diagramm T zelle vs U ventil.PNG

Messung der Übertragungsfunktion \( T_{Zelle}=f \left ( U_{Ventil} \right ) \)

Das Bode-Diagramm des offenen Regelkreises wurde an PE-SR_Cy5 bei einer mittleren Zellentemperatur von 32,5 °C aufgenommen. Die aus dem f-Sweep ermittelte Strecken-Proportionalverstärkung beträgt \( K_{PS} = 0,72 \).
\( K_{PS} \) ist allerdings sehr stark vom Arbeitspunkt (Ventilsteuerspannung \( U_{Ventil} \)) abhängig, wie man am stark nichtlinearen Verlauf der Kennlinie \( T_{Zelle}=f \left ( U_{Ventil} \right ) \) im obigen Diagramm erkennen kann.

In der nachstehenden Tabelle sind die an PE-SL_Cy3 ermittelten Messwerte \( T_{Zelle}=f \left ( U_{Ventil} \right ) \), sowie die daraus errechnete Proportionalverstärkung \( K_{PS} \) aufgeführt.

Um über den gesamten Temperaturbereich hinreichend schnell und stabil regeln zu können, sind bereichsweise angepasste Reglerparameter erforderlich.



Ventil-
Steuer-
spannung
\( U_{Ventil}\) [V]
Zellen-
temperatur
\( T_{Zelle}\) [°C]
Strecken-
verstärkung
\( K_{PS} \) [°C/V]
bereichsweise
angepasste
Reglerparameter
3 40,3 0,6 Satz 1 @ \( U_{Ventil} \le 3V \)
5 42 0,85 Satz 2
6 43,1 1,1 Satz 2 @ \( 3V < U_{Ventil} < 8V \)
7 45,1 2 Satz 2
8 48,8 3,7 Satz 3 @ \( U_{Ventil} \ge 8V \)
9 63,1 14,3 Satz 3

Messungen vom 12.6.2014 an PE-SL_Cy3 @ Ventil-Bypass auf 500 l/h gedrosselt

Regler-Dimensionierung

Das Verhalten der Regelstrecke wird durch zwei Verzögerungsglieder dominiert. Es bietet sich daher der Einsatz eines PID-Reglers an. Die Bestimmung der Reglerparameter aus dem Strukturbild-Modell der Cavity-Strecke ist in der nachfolgenden Tabelle skizziert (ausführliche Beschreibung des Verfahrens siehe: [[1]])


Parameter Formelzeichen Wert frei Bemerkung
Proportionalverstärkung Regler \( K^*_R \) 22 dB @ Uventil<3V
17 dB @ 3V<Uventil<8V
-5,0 dB @ Uventil>8V
so gewählt, dass Open-Loop-Gain=0dB bei Phasenrand > 60°
und Open-Loop-Gain <-10dB bei Open-Loop-Phase=-180°
Integrierglied-Zeitkonstante \( T_a \) 150 s entsprechend der größeren Streckenverzögerung gewählt
Differenzierglied-Zeitkonstante \( T_b \) 60 s entsprechend der kleineren Streckenverzögerung gewählt


Umrechnung der Reglerparameter von Serienschaltung auf Parallelschaltung

PID-Regler in Serienschaltung.PNG

PID-Regler in Parallelschaltung.PNG

Parameter Formel P.Satz 1 P.Satz 2 P.Satz 3
Proportionalverstärkung Regler \( K_R = K^*_R \cdot \frac{T_a}{T_N} \) 9,0 5,1 0,4
Nachstellzeit \( T_N = T_a + T_b \) 210 s 210 s 210 s
Vorhaltezeit \( T_V = {T_a T_b \over T_a +T_b} \) 43 s 43 s 43 s
Integrierbeiwert \( K_I = {K_R\over T_N} \) 0,043 1/s 0,024 1/s 0,0019 1/s
Differenzierbeiwert \( K_D = {K_R \cdot T_V} \) 385 s 217 s 17,2 s
resultierende Durchtrittsfrequenz 7,5 mHz 8,6 mHz 8,6 mHz
resultierende Frequenz für Regelfaktor = 0,1 \( \frac {\Delta x_{geregelt}}{\Delta x_{ungeregelt}}\) 0,9 mHz 1,0 mHz 1,0 mHz

Parameter für einen PI-Regler

Die Parameter für einen PI-Regler werden nach derselben Strategie wie für den PID-Regler ermittelt. Einziger Unterschied: Es kann nur die größte Streckenverzögerung kompensiert werden. Dazu setzt man \( T_N \) gleich dieser größten Zeitkonstante.


Parameter Formel P.Satz 1 P.Satz 2 P.Satz 3
Proportionalverstärkung Regler \( K_R \) 2,2 1,3 0,09
Nachstellzeit \( T_N \) 150 s 150 s 150 s
Integrierbeiwert \( K_I = {K_R\over T_N} \) 0,043 1/s 0,024 1/s 0,0019 1/s
resultierende Durchtrittsfrequenz 1,2 mHz 1,3 mHz 1,3 mHz
resultierende Frequenz für Regelfaktor = 0,1 \( \frac {\Delta x_{geregelt}}{\Delta x_{ungeregelt}}\) 0,6 mHz 0,7 mHz 0,4 mHz

Empirische Reglerparameter 16.9.2015

[2]

Parameter Symbol, Einheit \( T_{Cy} \le 40°C \) \( 40°C < T_{Cy} < 46°C \) \( T_{Cy} \ge 46°C \)
Proportionalverstärkung Regler \( K_R \), [1] 1,34 0,535 0,205
Integrierbeiwert \( K_I \), [1/s] 0,026 1/s 0,009 1/s 0,002 1/s
Differenzierbeiwert \( K_D \), [s] \( \approx 0 \) \( \approx 0 \) \( \approx 0 \)

Nach einem Sollwertsprung von 1 °C benötigt die Regelung 13 Minuten bis zur Ausregelung der Störung auf < 0,1 °C

1-Grad Sollwert-Sprung, RGL mit LabView (DLL nachempfunden), 2015-09-16 08h57m.PNG

Empirische Reglerparameter 16.9.2015

[3]

Parameter Symbol, Einheit \( U_{Ventil} \le 2V \) \( 2V < U_{Ventil} < 9V \) \( U_{Ventil} \ge 9V \)
Proportionalverstärkung Regler \( K_R \), [1] 1,34 Interpolation 0,025
Integrierbeiwert \( K_I \), [1/s] 0,045 1/s Interpolation 0,002 1/s
Differenzierbeiwert \( K_D \), [s] 0 0 0

Nach einem Sollwertsprung von 1 °C benötigt die Regelung 7 Minuten bis zur Ausregelung der Störung auf < 0,1 °C

1-Grad Sollwert-Sprung, Rgl mit LabView, Interpol zwischen 2 Param.sätzen, 2015-09-16 10h03m.PNG

Empirische Reglerparameter 5.10.2015

[4]

Parameter Symbol, Einheit \( U_{Ventil} \le 2V \) \( 2V < U_{Ventil} < 9V \) \( U_{Ventil} \ge 9V \)
Proportionalverstärkung Regler \( K_R \), [1] 1,34 Interpolation 0,4
Integrierbeiwert \( K_I \), [1/s] 0,026 1/s Interpolation 0,0027 1/s
Differenzierbeiwert \( K_D \), [s] 0 0 0

Das Ziel war, durch empirische Optimierung der Parameter die Temperatur-Überschwinger zu veringern. Diese bereiten bei den sehr warmen Cavities PE-SL_Cy1 und PE-SL_Cy2 und ganz besonders bei PE-SL_Cy3 Sorgen, da die Zellentemperatur dabei deutlich über 70°C schwingt.

Einschaltvorgang, Rgl mit LabView, Interpol zwischen 2 Param.sätzen, 2015-10-05 17h28m.PNG
Regeldifferenzen nach Hochfahren der Summen-Cavity-Spannung von 0 nach 10 MV

Einschaltvorgang, Tzelle, Rgl mit LabView, Interpol zwischen 2 Param.sätzen, 2015-10-05 17h28m.PNG
Zellentemperaturen der wärmsten drei Cavities nach Hochfahren der Summen-Cavity-Spannung von 0 nach 10 MV

Aus Regelstrecken-Strukturbild berechnete PID-Reglerparameter



Strukturbild der Regelstrecke mit den per Bode-Diagramm-Fit ermittelten Strecken-Parmetern Strukturbild Modell Cavity-Strecke.png

Parameter Symbol, Einheit \( U_{Ventil} \le 2V \) \( 2V < U_{Ventil} < 9V \) \( U_{Ventil} \ge 9V \)
Proportionalverstärkung Regler \( K_R \), [1] 9,0 Interpolation 0,4
Integrierbeiwert \( K_I \), [1/s] 0,043 1/s Interpolation 0,0019 1/s
Differenzierbeiwert \( K_D \), [s] 385 Interpolation 17,2

Die Regelung regelt mit PID-Regler und gerechneten Reglerparametern deutlich schneller und macht keine großen Exkursionen in Richtung hoher Zellentemperaturen. Allerdings sind die Kreisverstärkungen für die fünf besonders warmen Cavities (SL_Cy1, SL_Cy2, SL_Cy3, SR_Cy2 und SR_Cy5) mit Ventilspannungen zwischen \( 7,5V < U_{Ventil} < 8,9V \) deutlich zu groß, so dass es zur Oszillationen kommt. Die Regeldifferenzen aller anderen Cavity-Temperaturen sind 13 Minuten nach Hochfahren der Summen-Cavity-Spannung von 0 auf 10 MV auf <0,1°C genau geregelt
Einschaltvorgang, gerechneter PID-Rglr, Interpol zwischen 2 Param.sätzen, 2016-01-13 14h55m.PNG


Die empirische Reduzierung des Differenzierbeiwertes für den Bereich \( U_{Ventil} \le 2V \) stabilisiert die Oszillationen der fünf besonders warmen Cavities ohne dass es wesentlichen Einfluss auf die Ausregelzeit hat. Die Regeldifferenzen aller anderen Cavity-Temperaturen sind jetzt 14 Minuten nach Hochfahren der Summen-Cavity-Spannung von 0 auf 10 MV auf <0,1°C genau geregelt


Parameter Symbol, Einheit \( U_{Ventil} \le 2V \) \( 2V < U_{Ventil} < 9V \) \( U_{Ventil} \ge 9V \)
Proportionalverstärkung Regler \( K_R \), [1] 9,0 Interpolation 0,4
Integrierbeiwert \( K_I \), [1/s] 0,043 1/s Interpolation 0,0019 1/s
Differenzierbeiwert \( K_D \), [s] 100 Interpolation 17,2

Einschaltvorgang, gerechneter & leicht modifizierter PID-Rglr, Interpol zwischen 2 Param.sätzen, 2016-01-14 07h53m.PNG

ToDo

  • Frage klären: Warum hat das verkleinern des Differenzierbeiwertes im Bereich \( U_{Ventil} \le 2V \) geholfen? Die "warmen" Cavities mit \( U_{Ventil} \ge 7,5V \) haben doch oszilliert! Da die Oszillationsursache meiner Meinung nach die starke Nichtlinearität des Stellgliedes ist, hätte ich erwartet, dass man die Proportionalverstärkung für den Bereich \( U_{Ventil} \ge 9,0 \) reduzieren müsste.
  • Messung Ausregelzeit nach einem Sollwertsprung von 1 °C

Bestimmung der Messgrößen

  • Anregelzeit \( t_{An} \) (Zeit bei Führungssprung bis zum erstmaligen Erreichen von w-x=0)
  • Überschwingweite \( T_{ü} \)
  • Toleranzbereich 2\( \Delta \)
  • Ausregelzeit \( t_{Aus} \)(Zeit bis erstmals (w-x) < \( \Delta \))