R(Zupper-Zlower)

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Der Strahl induziert beim Durchqueren der Cavities elektromagnetische Felder. Die Stärke dieser Felder ist proportional zur (frequenzabhängigen) Cavity-Impedanz. Der Strahlstrom enthält ein breites Frequenzspektrum. Beschränkt man sich auf die longitudinale Koordinate, dann genügt es, das Strahlspektrum der Umlauflinien zu betrachten. Deren Spektrum reicht beispielsweise bei PETRA-3 von fU = 130,1 kHz bis >100.000 * 130,1 kHz = 13 GHz. Um jede dieser > 100.000 Umlauflinien gruppieren sich symmetrisch die Synchrotronfrequenzlinien im Abstand von fs = 6,5 kHz. Zusätzlich können sich noch diverse weitere Spektrallinien beispielsweise durch Multibunch-Schwingungsmoden hinzugesellen.


Bild Spektrum mit Cav-Impedanzkurve


Komplexe Impedanz eines Cavities:

\( \underline {Z} = R {1 \over 1+j \Omega} \)


Realteil der komplexen Cavity-Impedanz:


\(Re \{ \underline {Z} \} = R {1 \over 1+ \Omega^2}\)


Realteil der komplexen Cavity-Impedanz bei PETRA


Shunt-Impedanz eines Cavities: RS = 23 MΩ


Vom Strahl bei h * fU = 3840*130,12 kHz = 499,66 MHz gesehene Impedanz eines Cavities:


R = RS/(1+β) = 23 MΩ/(1+2) = 7,67 MΩ


Vom Strahl bei h * fU = 499,66 MHz gesehene Impedanz der 12 Cavities:


R = 12 * 7,67 MΩ = 92 MΩ


Vom Strahl bei (h-1) fU+ fS = 3839*130,12 kHz+6,5 kHz = 499,537 MHz gesehener Realteil aller Cavity-Impedanzen\[Re \{ \underline {Z} \} \mid_{f=/h-1)f_U+f_S} =R_{(Z_U)} ={92M \Omega \over 1+3,94^2} =5,57M \Omega\]


Vom Strahl bei (h-1) fU+ fS = 3839*130,12 kHz-6,5 kHz = 499,524 MHz gesehener Realteil aller Cavity-Impedanzen\[Re \{ \underline {Z} \} \mid_{f=/h-1)f_U-f_S} =R_{(Z_L)} ={92M \Omega \over 1+4,46^2} =4,40M \Omega\]


Für die longitudinale Stabilität relevante Impedanz-Differenz aus den Realteilen der Impedanzen\[R_{(Z_U-Z_L)}=5,57M \Omega -4,40M \Omega = 1,17M \Omega\]


\({1 \over \tau} = \Bigg( {I_{Bdc}* \alpha * f_{rf} \over 2* {f_S \over f_U} * \beta^2 * {E \over e_0}} \Bigg) *R_{(Z_U - Z_L )}\)


R(Zupper-Zlower).bmp