PID-Regler

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Der PID Regler ist der universellste der klassischen Regler und vereinigt die Eigenschaften von P-, I-, PI-und PD-Regler. Ein PID-geregelter Kreis ist genau und schnell. In den meisten Anwendungen kommt deshalb der PID-Regler zum Einsatz.


Zusammensetzung eines PID-Reglers aus P-, I- und D-Glied

PID-Regler.bmp


Frequenzgang des PID-Reglers

\(F_R =K_R* \bigg( 1+ {1 \over j \omega T_N} + j \omega T_v \bigg)\)

Bode-Diagramm eines PID-Reglers mit KR = 36 dB, TN = 100 µs, TV = 1 µs


PID-Regler 1.bmp


PID-Regler 2.bmp


Sprungantwort des PID-Reglers (idealer)

PID-Regler 3.bmp



Elektronische Realisierung eines PID-Reglers mit Operationsverstärkern

PID-Regler 4.bmp


Frequenzgang des elektronisch realisierten PID-Reglers

\(F_R=V{R_{P1} \over R_{P2}} \Bigg( 1+ {1 \over j \omega { R_{P1}R_1 \over R_{P2}C_I}} +j \omega { R_{P2}R_D \over R_{P1}}C_D \Bigg) \)


Formeln zur Berechnung der Reglerparameter des oben dargestellten elektronischen PID-Reglers.


Proportionalverstärkung P-Zweig \(K_R = V {R_{P1} \over R_{P2}}\)
Nachstellzeit I-Zweig \(T_N = {R_{P1} R_I \over R_{P2}} C_I\)
Vorhaltezeit D-Zweig \(T_V = {R_{P2} R_D \over R_{P1}} C_D\)



Vereinfachte elektronische Reglerschaltungen

Version 1

PID-Regler 5.bmp


Kenngröße Dimensionierung
Proportionalverstärkung KR = RI/R0
Nachstellzeit TN = RI * CI
Vorhaltezeit TV = RD * CD

Nachteile:

  • KR ist abhängig von RI
  • RD muss sehr viel kleiner als RI sein


Version 2

PID-Regler 6.bmp

Kenngröße Dimensionierung
Proportionalverstärkung KR = RI/RD
Nachstellzeit TN = RI * CI
Vorhaltezeit TV = RD * CD

Nachteil:

KR ist abhängig von RI und RD



Alternative PID-Reglerstrukturen

Es gibt 3 Darstellungsmöglichkeiten, die inhaltlich identisch sind.

  • Parallelschaltung von P-, I- und D-Glied
  • Parallelschaltung von P-Glied mit KP=1, I- und D-Glied und zusätzliche Serienschaltung eines P-Gliedes
  • Serienschaltung von P-, I- und zwei PD-Gliedern

Die Umrechnung zwischen den beiden Strukturen ist mit den nachfolgend angegebenen Formeln möglich.


Parallelschaltung von P-, I- und D-Glied



Parallelschaltung von P-, I- und D-Glied


PID-Regler 7.bmp

Parallelschaltung von P-Glied mit KP=1, I- und D-Glied und zusätzliche Serienschaltung eines P-Gliedes

PID-Regler 8.bmp


PID-Regler: Umrechnung zwischen den Parametern von Serien/Parallel und Parallelschaltung


Parallel in Serien/Parallel Serien/Parallel in Parallel
TN = KP/KI KI = KP/TN
TV = KD/KP KD = KP*TV


Serienschaltung von P-, I- und zwei PD-Gliedern

PID-Regler 9.bmp


Zur Stabilitätsuntersuchung und Dimensionierung eines Reglers mithilfe des Bode-Diagramms ist es hilfreich das Strukturbild in eine äquivalente Reihenschaltung umzurechnen. In der äquivalenten Reihenschaltung besteht der PID-Regler aus einem Verstärker, einem Integrierer und zwei unterschiedlichen PD-Gliedern (PD-Glieder haben Hochpaßverhalten). Die Parameter der Reihenschaltung K*P, Ta und Tb, können in die Parameter der Parallelschaltung umgerechnet werden.


PID-Regler: Umrechnung zwischen den Parametern von Serien- und der Parallelschaltung

gesucht: TN, TV, KP gesucht: Ta, Tb
\( T_N = T_a + T_b \) \(T_a *T_b =T_V*T_N\)
\(T_V = {T_a T_b \over T_a +T_b}\) \(T_a = {T_N \over 2} \Bigg( 1+ \sqrt{1- {4T_V \over T_N}} \Bigg)\)
\(K_P=K_P^* {T_a \over T_N} =K_P^* {T_V \over T_b}\) \(T_b = {T_N \over 2} \Bigg( 1- \sqrt{1- {4T_V \over T_N}} \Bigg)\)



Ab TN > 5*TV kann mit den Näherungen


\(T_a \approx T_N ; T_b \approx T_V ; K_R^* \approx K_R\)

gerechnet werden.