Normierter Schwingkreis

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Schwingungsfähige Systeme gibt es in vielfältiger Form. Beispielsweise können sie aus einer Feder-Masse Kombination, aus einer elektrischen Schaltung mit Spule- und Kondensator oder aus einem geladenen Teilchen in einem Führungsfeld bestehen. Allen schwingungsfähigen Systemen ist gemeinsam, dass sie zwei Energiespeicher für unterschiedlicher Energieformen besitzen, zwischen denen die Schwingungsenergie mit einer durch die Energiespeicher charakterisierten Frequenz hin und her pendelt (oszilliert). Bei realen schwingungsfähigen Systemen treten bei der Umwandlung der Energieformen immer Verluste auf. Diese Verluste bewirken, dass die Schwingung eines ein einmal angestoßenes Systems mehr oder weniger schnell abklingt; beziehungsweise dass ein ständig angeregtes System eine mehr oder weniger große Bandbreite der Breite der Schwingfrequenz aufweist.


Im Frequenzbereich ist das Verhalten schwingungsfähiger Systeme durch die beiden Parameter Güte Q und Resonanzfrequenz fRes beschreibbar. Durch den "Trick" der Normierung lassen sich Güte und Resonanzfrequenz in der "normierten Verstimmung" Ω vereinigen. Man erhält so eine sehr einfache Formel mit der man alle Arten von schwingungsfähigen Systemen beschreiben kann.

\({A_{(\Omega)} \over A_{(\Omega=0)}} = {1 \over 1+j\Omega}\)


A: Schwingungsamplitude

Ω: normierte Verstimmung

\(\Omega =2Q{ \Delta f \over f_{Res}}\)


∆f: Abweichung von der Resonanzfrequenz fRes


Beispiel elektr. Parallelschwingkreis

Normierter Schwingkreis.bmp


Die komplexe Impedanz der Parallelschaltung von L,C und R beträgt

\(\underline{Z} = R { 1 \over 1+j\Omega}\)


\(\varnothing = -arc\tan \Omega\)


Darstellung der komplexen Impedanz eines Schwingkreises in der Gauß´schen Zahlenebene


Normierter Schwingkreis 1.bmp



Entnormierung

Nachdem man Berechnungen in der bequemen normierten Form vorgenommen hat, ist es oft erforderlich das Endergebnis wieder zu entnormieren, um z.B bei einem elektischen Schwingkreis konkrete Werte für R, L und C berechnen zu können.

Beispiel:

Die nachfolgende Beziehung soll entnormiert werden


\(\underline{Z} = R { 1 \over 1+j\Omega}\)


1. Schritt:

  • Ω durch


\(\Omega =2Q{ \Delta f \over f_{Res}}\)


ersetzen.


2. Schritt:

  • Q durch


\(Q={R \over X}=R\omega_{Res} C={R \over \omega_{Res}L}\)


ersetzen.


3.und letzter Schritt:

  • Ergebnis in übersichtliche Darstellung umformen


\(\underline{Z}={1 \over {1 \over R} + j \omega C + {1 \over j \omega L}}\)


Man erkennt sofort, dass diese Art der Darstellung bei mathematischne Operationen wesentlich unhandlicher ist, als die normierte Ausgangsform.