Moden eines zylindrischen Hohlraumresonators

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Feldbild des E010-Modes,
links: H-Feld, rechts E-Feld. Die elektrischen Feldlinien verlaufen in Achsrichtung und haben in Achsnähe maximale Dichte
Feldbild des E011-Modes,
links: H-Feld, rechts E-Feld
Feldbild des E012-Modes,
links: H-Feld, rechts E-Feld
Feldbild des E110-Modes
Feldbild des E111-Modes,
links: H-Feld, rechts E-Feld
Feldbild des E020-Modes
Feldbild des E021-Modes
Feldbild des E022-Modes,
links: H-Feld, rechts E-Feld

Einen zylindrischen Hohlraumresonator kann man als Rundhohlleiter betrachten, dessen beide Enden kurzgeschlossen sind. Wellenfelder in Hohlleitern haben die Periodizität einer halben Hohlleiterwellenlänge \(\lambda\)H/2. Ein Kurzschluß wird also nach dieser Länge - oder Vielfachen davon - wieder in einen Kurzschluß transformiert.


Jeder Hmn- oder Emn-Wellentyp kann ein entsprechendes Resonanzfeld in einem beidseitig kurzgeschlossenen Hohlleiterstück der Länge \(h = p \cdot \lambda\)H/2 erzeugen. Die entsprechende Resonanz wird mit Hmnp bzw. Emnp bezeichnet.


Ist einer der Indizes Null, dann ist die Resonanzfrequenz unabhängig von der Ausdehnung des Hohlleiters in der dem Index entsprechenden Richtung.


Moden eines zylindrischen Resonators 640px.png

Berechnung der Modefrequenzen eines zylindrischen Resonators (Pillbox-Cavity)

Erste in DORIS installierte Cavity (1973)
Zeichnung der DORIS-Cavity "Typ B" von 1971.
Hauptabmessungen:
d=462mm;
h=276mm


E-Moden (TM-Moden) , \(H_{z} \) = 0 , \(E_{z} \) \(\neq\) 0

Bei TM (Transversal-Magnetischen) Wellen verschwindet die magnetische Komponente in Ausbreitungsrichtung während die elektrische Komponente Werte ungleich 0 annehmen kann. Das magnetische Feld steht senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. \[ f_{mnp} = \frac{c}{2\pi \sqrt{\mu_r \varepsilon_r}} \sqrt{ \left( \frac{X_{mn}}{r} \right)^2 + \left( \frac{p\pi}{h} \right)^2} \]

mit:

r = Zylinderradius
h = Zylinderhöhe
m = Ordnung der Bessel-Funktion 1. Art (m = 0, 1, 2, 3, ...)
n = Zähler der Nullstelle (n=2 heißt: 2. Nullstelle der Bessel-Funktion 1. Art (n = 1, 2, 3, ...)
\( X_{mn} \) = x-Wert der n-ten Nullstelle der Bessel-Funktion 1. Art m-ter Ordnung
p = Anzahl halber Wellenlängen in axialer Richtung (p = 0, 1, 2, 3, ...)

Beispiel

DORIS-Cavity mit

  • r = 0,231 m
  • h = 0,276 m
Mode-Bezeichnung m n p \(X_{mn}\) Mode-Frequenz
\(E_{010} \) (Abb. a) 0 1 0 2,405 496,8 MHz
\(E_{110} \) (Abb. b) 1 1 0 3,83 791,1 MHz
\(E_{210} \) (Abb. c) 2 1 0 5,14 1061,7 MHz

E-Feld der 3 niedrigsten E-Moden einer Pillbox-Cavity.PNG

H-Moden (TE-Moden) , \(E_{z} \) = 0 , \(H_{z} \) \(\neq\) 0

Bei TE (Transversal-Elektrischen) Wellen verschwindet die elektrische Komponente in Ausbreitungsrichtung während die magnetische Komponente Werte ungleich 0 annehmen kann. Das elektrische Feld steht senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. \[ f_{mnp} = \frac{c}{2\pi \sqrt{\mu_r \varepsilon_r}} \sqrt{ \left( \frac{X'_{mn}}{r} \right)^2 + \left( \frac{p\pi}{h} \right)^2} \]

mit:

r = Zylinderradius
h = Zylinderhöhe
m = Ordnung der Bessel-Funktion 1. Art (m = 0, 1, 2, 3, ...)
n = Zähler der Nullstelle (n=2 heißt: 2. Nullstelle der Bessel-Funktion 1. Art (n = 1, 2, 3, ...)
\( X'_{mn} \) = x-Wert der n-ten Nullstelle der 1. Ableitung der Bessel-Funktion 1. Art m-ter Ordnung
p = Anzahl halber Wellenlängen in axialer Richtung (p = 1, 2, 3, ...)


Beispiel

DORIS-Cavity mit

  • r = 0,231 m
  • h = 0,276 m
Mode-Bezeichnung m n p \(X'_{mn}\) Mode-Frequenz
\(H_{111} \) (Abb. a) 1 1 1 1,85 664,1 MHz
\(H_{211} \) (Abb. b) 2 1 1 3,06 833,4 MHz
\(H_{011} \) (Abb. c) 0 1 1 3,84 961,3 MHz

E-Feld der 3 niedrigsten H-Moden einer Pillbox-Cavity.PNG

Beispiel

PETRA 7-Zeller mit

  • r = 0,2098 m
  • h = 0,200 m (Maß zwischen den Nose-Cones)
Mode-Bezeichnung m n p \(X'_{mn}\) Mode-Frequenz
\(H_{212} \) (Abb. a) 2 1 2 3,06 1652,5 MHz

Exyz-oder Hxyz-Mode, 640px.png

Bedämpfung störender Modefrequenzen "Higher-Order-Mode-Resonanzen (HOM)"

Noch in Arbeit
Zuletzt bearbeitet am 21.11.2017



Quellen: Datei:HOM-Couplers for normal conducting DORIS 5-cell cavities.pdf


Der E022-Mode wird in der Technischen Notiz
Datei:1977-02-15 Ferrit-Dämpfungsantennen gegen HOMs in DORIS-Cavities.pdf
als besonders auffällige Störresonanz bezeichnet.