Longitudinale Instabilität

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Die Wechselwirkung zwischen dem Strahlstrom und dem Grundmode der HF-Cavities kann dazu führen, dass der umlaufende Strahl instabil wird. Die Anwachsgeschwindigkeit (growth rate) dieser Instabilität wird durch die Differenz der Realteile der Impedanzen bestimmt, die der Strahl bei den Synchrotron-Seitenbändern sieht.

\[{1 \over \tau} = \Bigg( { I_{Bdc} \cdot \alpha \cdot f_{rf} \over 2{f_S \over f_U} \cdot \beta^2 \cdot {E \over e_0}} \Bigg) \cdot R_{Z_U-Z_L} \]


IBdc mittlerer DC Strahlstrom
α Momentum Compaction Factor
β particle velocity factor
fS/fU Synchrotron-Tune
E Teilchenenergie
e0 Elementarladung
frf HF-Frequenz
R(ZU-ZL) Differenz der Realteile der Impedanzen bei den Synchrotron-Seitenbändern



Daten PETRA-3:

IBdc 100 mA mittlerer DC Strahlstrom
α 1,2 10-4 Momentum Compaction Factor
β 1 particle velocity factor
fS/fU 0,049 Synchrotron-Tune
E 6 GeV Teilchenenergie
e0 1,60 10-19 As Elementarladung
frf 499,66 MHz HF-Frequenz
R(ZU-ZL) 1,17 MOhm Differenz der Realteile der Impedanzen bei den Synchrotron-Seitenbändern


Der eingeklammerte Term der oben dargestellten "growth-rate"-Formel ergibt mit den eingesetzten Parametern für PETRA-3:

\[ { I_{Bdc} \cdot \alpha \cdot f_{rf} \over 2{f_S \over f_U} \cdot \beta^2 \cdot {E \over e_0}}=1,02*10^{-6} {A \over Vs} \]

Der Wert der Impedanzdifferenz bei den Synchrotron-Seitenbändern um die Umlaufharmonische (h-1)*fU beträgt R(ZU-ZL) = 1,17 MOhm (Annahme: Cavities um 25 kHz kapazitiv verstimmt)

Die "growth-rate" ist somit 1,02 µA/V/s * 1,17 MOhm = 1,19 s

Da die Dämpfungszeit der Synchrotronschwingung ca. um den Faktor 100 kleiner ist, kommt die Instabilität nicht zum Tragen.