Komplexe Zahlen

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Eine kleine Geschichte zur Einführung:

In früher Zeit kam die Menscheit noch mit ganzen, rationalen Zahlen aus:

- Eine Frau, zwei Kinder, drei Ziegen, ... ,zwei Dutzend Sippenmitglieder, ... -

Seit man nach der Jagd das Fell des Bären und das Fleisch des Mammuts unter den Sippenmitgliedern teilte, verwendete man auch die gebrochen rationalen Zahlen:

- Eine Hälfte für die Familie des Jägers ein 16tel der anderen Hälfte für die anderen Sippenmitglieder,...-

Viel, viel später entdeckte der Mensch zuerst die 0, dann die irrationalen Zahlen π, e, √2, usw. Als er dann auch noch begann Schulden zu machen, entdeckte er die Welt der negativen Zahlen.

Die gesamte Welt der Zahlen war bis dahin noch reell und ließ sich auf einer Linie darstellen (Zahlenstrahl). In der Mitte die 0, nach rechts die positiven Zahlen und links von der 0 die negativen Zahlen.

Zahlenstrahl der reellen Zahlen

Komplexe Zahlen.bmp


Rationale Zahlen sind Zahlen, die sich als Verhältnis (lat.Ratio) ganzer Zahlen darstellen lassen.

Irrationale Zahlen sind Zahlen, die sich nicht als Verhältnis ganzer Zahlen darstellen lassen.


Im 16. Jahrhundert kam man auf die Idee, die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen zu wollen. Dafür gab es bis dahin keine Lösung. Selbst heute scheitern noch die meisten Taschenrechner an dieser Aufgabe. Man fand eine pragmatische Lösung. Man trennte einfach das negative Vorzeichen mitsamt der Wurzel von der negativen Zahl unter der Wurzel ab und benutzte zur Abkürzung dafür den Buchstaben "i". Das "i" ließ sich dann im Weiteren wie jede andere Zahl behandeln.


√-9 = √-1 * √9 = i3


Zur Darstellung dieser "imaginären" Zahlen schuf man einen neuen Zahlenstrahl, der senkrecht auf dem Zahlenstrahl der bisher nur bekannten "reellen" Zahlen steht. Die zwischen den Zahlenstrahlen aufgespannte Ebene ist die sog. "Gauß´sche Zahlenebene". Auf ihr lassen sich Kombinationen von reellen und imaginären Zahlen darstellen. Diese Zahlen heißen "komplexe Zahlen". Der so konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die sich in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften als äußerst nützlich erwiesen haben.


Komplexe Zahlen 1.bmp


Rechenregeln für das Rechnen mit komplexen Zahlen

Für das Rechnen mit komplexen Zahlen gelten dieselben Regeln wie für reelle Zahlen. Es gibt nur eine Definition die man sich merken muss.

Definition:

Die Zahl i ist die Einheit der imaginären Zahlen. Sie entspricht der 1 bei den reellen Zahlen. Per Definition gilt:

i2 = -1

In der Elektrotechnik benutzt man das j anstatt des i zur Darstellung der imaginären Einheit, um eine Verwechslung mit dem üblichen Formelzeichen des elektrischen Stromes zu vermeiden.