Klystron-Ausgangsleistung, Berechnung

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Quelle: Handbuch der Vakuumelektronik, ISBN 3-486-20943-4

Schema: 2-Cavity-Klystron

(von Seite 168)


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Strahlkopplungsfaktor

Der Strahlkopplungsfaktor beschreibt die Wechselwirkung zwischen dem Elektronenstrahl und einem Cavity-Gap. Er ist abhängig von der Gap-Weite dGap und der Wellenlänge der Geschwindigkeits- bzw. Dichtemodulation auf dem Strahl λ = v0 / fHF.

fHF ist die HF-Frequenz, v0 die Elektronengeschwindigkeit.


\(v_0 =\sqrt{{2e_0 \over m_{e_0}}}*\sqrt{U_K}\)


Die Abhängigkeit des Strahlkopplungsfaktors von den genannten Größen wird durch die si-Funktion (auch Spaltfunktion ) si(x) = sin(x)/x beschrieben. Wobei dann x = π dGap / λ


  • Die Spaltfunktion ist maximal (=1), wenn das Argument Null ist (x=0).
  • Der Zähler der Spaltfunktion ist maximal (=1), wenn x = π/2. si(π/2) = 0,64
  • Die Spaltfunktion hat ihre erste Nullstelle bei x=π.


Für den Strahlkopplungsfaktor bedeutet das:


  • Maximaler Strahlkopplungsfaktor, wenn dGap→ 0.
  • Strahlkoppelfaktor = 0,64, wenn dGap = λ/2
  • Minimaler Strahlkopplungsfaktor, wenn dGap = λ


Strahlkopplungsfaktor Eingangs-Cavity-Gap

\(k_{Gap_{in}}={sin \bigg( \pi {d_{Gap_{in}} \over \lambda} \bigg) \over \pi {d_{Gap_{in}} \over \lambda}} \)


Strahlkopplungsfaktor Ausgangs-Cavity-Gap

\(k_{Gap_{out}}={sin \bigg( \pi {d_{Gap_{out}} \over \lambda} \bigg) \over \pi {d_{Gap_{out}} \over \lambda}} \)


Typische Werte (Philips YK-1304):

  • dGapin = 12mm
  • dGapout = 20mm
  • λ = 200mm @30kV, 500MHz
  • λ = 300mm @75kV, 500MHz



Daraus ergeben sich für die Strahlkopplungsfaktoren:

kGapin = 0,99, kGapout = 0,98.

Im Folgenden wird mit der Näherung kGapin ≈ kGapout ≈ 1 gerechnet.

HF-Gehalt des Strahlstromes

Grundwelle des durch das Ausgangs-Gap hindurchtretenden Stromes (Scheitelwert)


\(I_{K_{HF}} = 2 * I_K*J_1 \Bigg( {U_{Gap_{in}} \over U_K}k_{Gap_{in}}* \pi {L \over \lambda} \Bigg) \)

wobei J1 die Bessel-Funktion 1.Art, 1.Ordnung bezeichnet.

Der in der Praxis relevante Wertebereich des Arguments der Besselfunktion ist <1. Deshalb kann diese mit guter Näherung durch die Sinus-Funktion ersetzt werden.


Mit der Näherung

\(J_1(x) \approx 0,58*sin(0,85*x)\)

folgt

\(I_{K_{HF}}\approx 1,16*I_K*sin \Bigg(0,85*{U_{Gap_{in}} \over U_K}k_{Gap_{in}}*\pi{L \over \lambda} \Bigg)\)


Die Proportionalität zu IK ist nicht anders zu erwarten.

Das Argument beschreibt die Stärke der Dichtemodulation.

  • UGapin / UK * kGapin beschreibt die Geschwindigkeitsmodulation im Gap des Eingangs-Cavitys.
  • π L / λ beschreibt die Umwandlung der Geschwindigkeitsmodulation in eine Dichtemodulation längs des Weges L im feldfreien Laufraum


Der Strom IKHF erzeugt im Ausgangs-Cavity den Ausgangsstrom Iout = IKHF * kGapout


\(I_{out}\approx1,16*k_{Gap_{out}}*I_k*sin\Bigg(0,85*{U_{Gap_{in}} \over U_K}k_{Gap_{in}}*\pi{L \over \lambda} \Bigg) \)


beide Gleichungsseiten mit UGapout multiplizieren und es folgt mit 2*Pout = UGapout * Iout (Faktor 2, da UGapout und Iout Scheitelwerte)


\(P_{out}\approx0,58*k_{Gap_{out}}U_{Gap_{out}}I_k*sin\Bigg(0,85*{U_{Gap_{in}} \over U_K}k_{Gap_{in}}*\pi{L \over \lambda} \Bigg) \)


Wie weiter oben bereits gezeigt, gilt mit guter Näherung kGapinkGapout ≈ 1.


\(P_{out}\approx 0,58*U_{Gap_{out}}I_k*sin\Bigg(0,85*{U_{Gap_{in}} \over U_K}k_{Gap_{in}}*\pi{L \over \lambda} \Bigg) \)

Normierung durch Bezug auf Nennwerte

(Kennzeichnung durch Index n)


\({P_{out} \over P_{put_{n}}}\approx {k_{Gap_{out}} \over k_{Gab_{out{_n}}}} {U_{Gap_{out}} \over U_{Gab_{out{_n}}}}*{I_K \over I_{k_{n}}} *{ sin\Bigg(0,85*{U_{Gap_{in}} \over U_K}k_{Gap_{in}}*\pi{L \over \lambda} \Bigg) \over sin\Bigg(0,85*{U_{Gap_{in_{n}}} \over U_K}k_{Gap_{in_{n}}}*\pi{L \over \lambda_{n}} \Bigg) }\)


Vereinfachung des Ausdruckes durch einsetzen der Proportionalitäten


\(U_{Gap_{in}} \propto \sqrt{P_{drv}}\)

\(U_{Gap_{out}} \propto \sqrt{P_{out}}\)

\(\lambda \propto \sqrt{U_K}\)


und Vereinigung aller Faktoren und Konstanten in CGapin, CGapout und CKly führt zu\[{P_{out} \over P_{out_{n}}} \approx \Bigg\{ { I_K *sin \bigg( { C_{Gap_{out}} \over \sqrt{U_K}} \bigg) *sin \bigg( C_{Kly}* { \sqrt{ P_{drv}} \over U_K } *sin \bigg( {C_{Gap_{in}} \over \sqrt{U_K}} \bigg) \bigg) \over I_{K_{n}} *sin \bigg( { C_{Gap_{out}} \over \sqrt{U_{K_{n}}}} \bigg) *sin \bigg( C_{Kly}* { \sqrt{ P_{drv_{n}}} \over U_{K_{n}} } *sin \bigg( {C_{Gap_{in}} \over \sqrt{U_{K_{n}}}} \bigg) \bigg)} \Bigg\}^2\]


IK DC-Strahlstrom (=Kathodenstrom)

IKHF HF-Grundwellenkomponente des durch das Ausgangs-Gap hindurchtretenden Strahlstromes (Scheitelwert)

Iout HF-Ausgangsstrom im Ausgangs-Cavity. Iout = IKHF * kGapout

kGapin Strahlkopplungsfaktor im Eingangs-Cavity

kGapout Strahlkopplungsfaktor im Ausgangs-Cavity

L Laufraumlänge

λ Wellenlänge der Geschwindigkeits- bzw. Dichtemodulation auf dem Strahl

Pout HF-Ausgangsleistung des Klystrons

Pdrv Treiberleistung, Drive Power (Eingangsleistung am Eingangs-Cavity)

UGapout Spannung über dem Gap des Ausgangs-Cavitys (Scheitelwert)

UGapin Spannung über dem Gap des Eingangs-Cavitys (Scheitelwert)

UK Strahlspannung (=Kathodenspannung)