Dispersion

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Die über viele Umläufe gemittelte Bahn eines mit Sollimpuls umlaufenden Bunches geht zentral durch die Quadrupolmagnete Die Bahn wird Sollbahn oder auch closed Orbit genannt. Die einzelnen Teilchen im Bunch haben aber alle etwas unterschiedliche Impulse. Es gibt eine Impulsverteilung der Breite \( \Delta p \) um den Sollimpuls \( p_0 \) herum deren Breite durch die Eigenschaften der Synchrotronabstrahlung (und damit der durch die Optik gegebenen Magnet-Feldstärken und der Teilchenenergie) bestimmt ist. Teilchen mit einer Impulsabweichung \( p=p_0+\delta p \) erfahren in den Dipolfeldern einen veränderten Krümmungsradius \(\varrho\) (wobei \( \delta \varrho \sim \delta p \)) und sie gehen daher nicht auf der Sollbahn durch die Quadrupole, sondern mit einer horizontalen Ablage \(\delta x_D\). Den Zusammenhang zwischen einer Impulsabweichung \(\frac {\delta p}{p}\) (auch energy spread \(\sigma_p \) genannt) und der dadurch verursachten Ablage \(\delta x_D\) von der Sollbahn stellt die sogenannte Dispersionsfunktion \( D(s)\) her. \[\delta x_D=D(s)\frac{\delta p}{p}\] Aufgrund der horizontalen Ablage \( \delta x_D \) ändert sich die Orbitlänge \( L \) . Ihre Veränderung \( \delta L \) durch die Impulsabweichung wird durch den momentum compaction factor \(\alpha\) beschrieben. \[\frac{\delta L}{L}= \alpha \frac{\delta p} {p}\]

PETRA-III:

\(\frac {\delta p}{p} = \sigma_p = 1,27 \cdot 10^{-3}\) @ 6 GeV

\(\alpha=1,127 \cdot 10^{-3}\)

\(L=2304 m\)

D.h. Teilchen innerhalb eines einzelnen Bunches haben bis 3,3 mm unterschiedlich lange Umlaufwege. Bei höheren Strömen nimmt die Impulsbreite und damit auch dieser Wert weiter zu.



Vglch.:

Die Bunch-Länge hängt vom energy spread \( \sigma_p \), dem momentum compaction factor \( \alpha \) und der Synchrotron-kreis-frequenz \( \omega_s \) ab und beträgt\[ \sigma_z=\frac{c}{\omega_s} \left(|\alpha-\frac {1}{\gamma}| \right) \sigma_p \]

PETRA-III:

\(\gamma = \frac {E}{E_{e0}} = \frac {6GeV}{511keV}=11742 \)

\(\omega_s= 2\pi \cdot 6149 s^{-1} \) \[ \sigma_z=11mm \] @ 6 GeV und 20 MV