Cavity-Impedanz

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Die Impedanz einer Cavity im Grund-Mode kann mit nebenstehendem Ersatzschaltbild beschrieben werden. Die im Ersatzschaltbild dargestellte Cavity-Impedanz setzt sich aus der Parallelschaltung der Leitwerte \( 1 \over {j \omega L} \) , \( 1 \over {R} \) und \( j\omega C \) zusammen. Die Cavity-Impedanz \( Z_C \) ist folglich gleich dem Kehrwert der Summe der Einzelleitwerte.

\[ Z_C ={1 \over {1 \over j \omega L} + {1 \over R} + j \omega C }\]


Umformen, Umordnen und Ersetzen von \( \frac{1}{\sqrt{LC}} \) durch \( \omega_r \) führt zu

\[ Z_C = \frac{R}{1+j \frac {R}{\omega L} \left( \frac{\omega}{\omega_r}-\frac{\omega_r}{\omega} \right) }\]


Will man die Cavity-Impedanz nur in der Nähe der Resonanz betrachten, was gewöhnlich hinreichend ist, kann der Term \( \frac{\omega}{\omega_r}-\frac{\omega_r}{\omega} \) wegen \( \omega \approx \omega_r \) zu \( 2 \frac{\Delta \omega}{\omega_r} \) vereinfacht werden.

Setzt man den vereinfachten Term ein, dann erhält man

\[ Z_C = \frac{R}{1+j \frac {R}{\omega_r L} \left( 2 \frac{\Delta \omega}{\omega_r} \right) }\]

Ersatzschaltbild einer Cavity im Grundmode


\( \frac {R}{\omega_r L} \) kann man zur weiteren Vereinfachung durch Q0 ersetzen und erhält so die übliche Form zur Beschreibung der Cavity-Impedanz



\[ Z_C = \frac{R}{1+j 2Q_0 \left( \frac{\Delta \omega}{\omega_r} \right) }\]



Der Term \( 2Q_0 \left( \frac{\Delta \omega}{\omega_r} \right) \) wird auch "normierte Verstimmung \(\Omega\)" genannt

\( \Omega = 2Q_0 \left( \frac{\Delta \omega}{\omega_r} \right) \)

Damit ergibt sich für die Cavity-Impedanz die Darstellungsform

\[ Z_C = \frac{R}{1+j \Omega } \]