Bode-Diagramm

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Quelle: Wikipedia

Das Bode-Diagramm (nach Hendrik Wade Bode) ist ein spezieller Funktionsgraf und besteht aus einem Grafen für den Betrag und einem für die Phasen einer komplexen Übertragungsfunktion. Bode-Diagramme finden ihre Anwendung bei der Darstellung linearer zeitinvarianter Systeme im Bereich der Elektronik/Elektrotechnik, Regelungstechnik und Mechatronik. Es beschreibt die stationäre Reaktion an einem Ausgang eines Systems auf eine harmonische Anregung („Sinusschwingung“) an einem Eingang des Systems. Das Bode-Diagramm dient der Darstellung des Übertragungsverhaltens eines dynamischen Systems, auch Frequenzantwort oder Frequenzgang genannt.


Charakteristische Eigenschaften

  • Auf den x-Achsen (Abszisse) wird die Frequenz resp. Kreisfrequenz logarithmisch dargestellt. Dadurch ist auf einen Blick das Verhalten über einen großen Frequenzbereich ersichtlich.
  • Auf der y-Achse (Ordinate) des ersten Grafen wird die Verstärkung der Amplitude, also der Betrag der komplexen Übertragungsfunktion in Dezibel - und damit ebenfalls logarithmisch - dargestellt. Dieser Graph heißt Amplitudengang.
  • Auf der y-Achse des zweiten Graphen wird die Phase der komplexen Übertragungsfunktion linear aufgetragen. Dieser Graph heißt Phasengang.


Amplituden- und Phasengang werden übereinander aufgetragen, so dass Verstärkung und Phase einer Frequenz vertikal übereinander stehen.

Durch das logarithmische Auftragen der Verstärkung wird aus der Multiplikation der Teilübertragungsfunktionen die Addition ihrer Amplitudengänge in Dezibel. Die Phasengänge überlagern sich auch ohne logarithmische Skalierung additiv.

Beispiel

Übertragungsstrecke aus drei Verzögerungsgliedern 1.Ordnung (PT1-Glied) mit den Übertragungsbeiwerten Ki und den Zeitkonstanten Ti

K1 = -1dB K2 = -2dB K3 = -3dB
T1 = 20 µs T2 =10 µs T3 = 10 µs

Ein Verzögerungsglied 1.Ordnung weist zum einen eine gewisse Grunddämpfung (oder auch Verstärkung), ausgedrückt durch den Übertragungsbeiwert Ki, zum anderen auch einen frequenzabhängigen Amplituden- und Phasengang, ausgedrückt durch die Zeitkonstante Ti auf.

Amplitudengang
Bei der Serienschaltung der drei Übertragungsglieder ergibt die Summe der einzelnen Übertragungsbeiwerte in Dezibel den Gesamtübertragungsbeiwert Kgesamt = -6dB.

Ab der Grenzfrequenz \( f_{g_i}=1/ (2\pi T_i) \) sinkt die Verstärkung eines Verzögerungsgliedes 1.Ordnung in genügendem Abstand von der Grenzfrequenz konstant mit -20dB/Dekade. Bei der Serienschaltung der drei Übertragungsglieder addiert sich das zu -60dB/Dekade. Bode-Diagramm 6.bmp

Phasengang
Der Phasengang eines Verzögerungsgliedes 1.Ordnung beträgt für Frequenzen weit unterhalb der Grenzfrequenz konstant 0°, bei der Grenzfrequenz beträgt er -45° und für Frequenzen weit oberhalb der Grenzfrequenz konstant -90°. Bei der Serienschaltung der drei Übertragungsglieder beträgt der Phasengang bei der Grenzfrequenz -135° und erreicht weit oberhalb der Grenzfrequenz -270°.

Bode-Diagramm 7.bmp