Betafunktion

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Ohne magnetische Elemente, die das Auseinanderstreben des Strahls verhindern, wäre ein Speichern von Elektronen auf der Kreisbahn des Synchrotrons innerhalb der gegebenen Apertur nicht möglich. Aufgrund der Fokussierungselemente im Synchrotron führen alle Teilchen mit transversalen Auslenkungen von der Sollbahn transversale Schwingungen aus, die zum ersten Mal beim Betatron beobachtet wurden und daher Betatronschwingungen genannt werden. Die beiden Schwingungsebenen kann man in 1. Näherung als unabhängig voneinander betrachten. Deshalb steht die Größe \( x_{\beta} \) im Folgenden gleichermaßen für die horizontale wie die vertikale Ablage von der idealen Sollbahn.

Die Betatronschwingung \( x_{\beta_{(s)}} \) kann folgendermaßen dargestellt werden: \[ x_{\beta (s)} = \sqrt{ \epsilon } \cdot \sqrt{ \beta_{(s)}} \cdot cos ( \phi_{(s)}) \]

  • \( \beta_{(s)} \) ist die sogenannte Betafunktion. Sie ist eine periodische Funktion der Bahnlänge und berechnet sich aus den Eigenschaften der Dipole und Quadrupole (der sog. linearen Optik). Durch die Angabe der Betafunktion ist der Verlauf der Betatronschwingung eindeutig bestimmt.
  • \( \phi_{(s)} \) ist die Phase der Schwingung. Sie berechnet sich aus der Betafunktion gemäß \( {d\over {ds}} \phi_{(s)}= \beta_{(s)} \)
  • \( \epsilon \) ist die Emittanz. Sie bestimmt die Amplitude der Betatronschwingung und sollte daher möglichst klein sein.