Bessel-Funktion

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Die Besselsche Differentialgleichung


\[ x^2{d^2\over dx^2}J_n(x) + x {d\over dx}J_n(x) + \left( x^2 - n^2 \right)J_n(x) = 0 \]


ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung. Dabei ist n meistens eine ganze Zahl.


Sie ist benannt nach Friedrich Wilhelm Bessel.


Die Lösungen der Besselschen Differentialgleichung heißen Besselfunktionen oder auch Zylinderfunktionen. Sie spielen eine wichtige Rolle in der Physik. Man trifft u.a. bei der Untersuchung von Eigenschwingungen von zylindrischen Resonatoren, der Analyse des Frequenzspektrums von frequenzmodulierten Signalen und dem Sättigungsverhalten von Klystrons auf die Besselfunktionen. Man zählt die Besselfunktionen wegen ihrer vielfältigen Anwendungen in der mathematischen Physik zu den speziellen Funktionen. Die Funktionswerte entnimmt man in der Praxis aus Bessel-Funktionstabellen.


Besselfunktionen 1. Art, n-ter Ordnung

\[ J_n(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{\left(-1 \right)^m}{ m!( m+n )!} \left( \dfrac{x}{2} \right)^{2m+n}\]


Bessel-Funktion 2.bmp

Besselfunktion 1. Art, 0-ter Ordnung

J0(x) heißt Besselfunktion 1. Art, 0-ter Ordnung. Die Funktion hat für Zylinderwellen dieselbe Bedeutung, wie die Kosinusfunktion für Wellen entlang einer geraden Linie. Die erste Nullstelle der Funktion liegt bei x = 2,405. Diese Nullstelle ist beispielsweise bei der Dimensionierung von zylindrischen Hohlraumresonatoren von Bedeutung. Für den TM01-Mode des Rundhohlleiters gilt, ersetzt man x durch ωR/c, dann erhält man die Formel zur Berechnung des erforderlichen Resonatorradius R in Abhängigkeit von der Resonanzkreisfrequenz \(\omega_{res}\).

\[R = \frac{ 2{,}405 c} {\omega_\text{res }} \]


J0(x) kann als unendliche Reihe dargestellt werden.

\[ J_0(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{\left(-1 \right)^m}{\left(m! \right)^2} \left( \dfrac{x}{2} \right)^{2m}\]

Besselfunktion 1. Art, 1-ter Ordnung

J1(x) heißt Besselfunktion 1. Art, 1-ter Ordnung. Die Funktion ist beispielsweise für die Berechnung von Phasenmodulations-Seitenbändern von Bedeutung. Ersetzt man x durch den Phasenmodulationshub η, dann ergibt J1(η) die Größe der Seitenbänder, die im Abstand der Modulationsfrequenz symmetrisch zum Träger liegen.

Seitenbänder, die im n-fachen Abstand der Modulationsfrequenz symmetrisch zum Träger liegen, berechnet man mit der Funktion J1(η).

Näherungen für die Besselfunktionen 1. Art, n-ter Ordnung

Näherung für J0(x), Fehler <1% für x<3,6; Fehler <5% für x<4,5


\[ J_0(x) \approx \frac{1}{4} \Bigg[ 1+\cos (x) + 2\cos\left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) \Bigg] \]


Näherung für J1(x), Fehler <1% für x<3,0; Fehler <5% für x<3,5


\[ J_1(x) \approx \frac{1}{4} \Bigg[ \sin (x) +\sqrt{2}\sin\left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) \Bigg] \]

Näherung für Jn(x)


\[ J_n(x)\approx \frac{1}{n!} \left( \frac{x}{2}\right )^n - \frac{1}{(n+1)!}\left( \frac{x}{2}\right )^{n+2} \]

Fehler in Abhängigkeit von n und x

n < 1% < 5%
2 x < 1,4 x < 1,9
3 x < 1,5 x < 2,2
4 x < 1,7 x < 2,4


Bessel-Funktion 3.bmp