Beam-Loading

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Beam-Loading wird die Spannung genannt, die ein Teilchenstrahl beim Durchqueren einer Kavität in selbiger induziert.

Qualitative Betrachtung

Abb.1: Sobald sich ein Bunch Elektronen dem Cavity-Gap nähert, fließen die Leitungselektronen aus dem Bereich der benachbarten Cavity-Wandungen auf die gegenüberliegende Seite des Cavitys.

In nachstehender Abbildung ist dargestellt, wie ein gebunchter Elektronenstrom ein Cavity passiert. Sobald sich ein Bunch Elektronen dem Cavity-Gap nähert, fließen die Leitungselektronen aus dem Bereich der benachbarten Cavity-Wandungen auf die gegenüberliegende Seite des Cavitys Abb.1. Dadurch wird die rechte Gap-Seite negativ gegenüber der linken und der Bunch wird gebremst. Der Bunch gibt beim passieren des Cavitys Energie ab Abb.2. Wenn der Bunch das Cavity wieder verlässt, fließen die Elektronen von rechten Seite des Gaps und den benachbarten Cavity-Wandungen wieder zurück zur linken Seite Abb.3. Die Spannung über dem Gap ist von der Cavity-Impedanz abhängig. Bei Resonanz ist die Cavity-Impedanz hoch, demzufolge ist auch die, durch die passende spektrale Frequenzkomponente des Strahlstromes induzierte Spannung hoch.

Abb.2: Durch die vom elektrischen Feld des Elektronen-Bunches verschobenen Leitungselektronen wird die rechte Gap-Seite negativ gegenüber der linken und der Bunch wird gebremst. Der Bunch gibt beim Passieren des Cavitys Energie ab
Abb.3: Wenn der Bunch das Cavity wieder verlässt, fließen die Elektronen von rechten Seite des Gaps und den benachbarten Cavity-Wandungen wieder zurück zur linken Seite

Quantitative Betrachtung

Es wird der Fall betrachtet, dass der Bunch-Abstand kurz gegenüber der Füllzeit des Cavities ist und außer dem Grundmode kein weiterer HOM im Cavity resonant angeregt wird. Unter diesen Voraussetzungen (die im Normalfall mit genügender Genauigkeit gegeben sind) kann das Beam-Loading als ein sinusförmiger HF-Strom mit der Grund-Mode-Frequenz des Cavitys betrachtet werden. Der Scheitelwert \(I_B\) dieses Stromes ist (bei kurzen Bunchen) gleich dem 2-fachen des mittleren umlaufenden Stromes \(I_{B_{DC}}\).

\(i_B(t)=2I_{B_{DC}} \sin (\omega_{HF}t) \)

\(i_B(t)=I_B \sin (\omega_{HF}t) \)

Ersatzschaltbild Cavity Beamloading.png
Ersatzschaltbild eines Cavitys

IB: Scheitelwert des sinusförmigen HF-Stroms mit der Grund-Mode-Frequenz des Cavitys
UB: Scheitelwert der vom Strahlstrom IB an der Cavity-Impedanz induzierten Spannung
RS: ist die sogenannte Shunt-Impedanz; sie repräsentiert die Wandverluste des Cavitys
R'G: Transformierter Generator-Innenwiderstand. Er wirkt vom Strahl aus gesehen wie ein externer Verlustwiderstand.
\( \beta \): Koppelfaktor


Der Strahl induziert an der Cavity-Impedanz ZC die Spannung \( U_B = Z_C \cdot I_B \) mit \(|Z_C| = \frac {R_S}{(1+\beta)} \cos \phi \). \( \phi \) ist die Cavity-Verstimmung. \(\cos \phi = 1 \), wenn das Cavity genau auf ein Vielfaches des Produktes aus Umlauffrequenz und Bunch-Zahl abgestimmt ist. Nun ist noch zu berücksichtigen, dass der Scheitelwert \(I_B\) bei kurzen Bunchen gleich dem 2-fachen des mittleren umlaufenden Stromes \(I_{B_{DC}}\) ist.

\(I_B = 2I_{B_{DC}}\)
Daraus folgt für den Betrag strahlinduzierten Spannung im Cavity\[|U_B| = 2I_{B_{DC}} \frac {R_S}{(1+\beta)} \cos \phi \].
Für supraleitende Cavities substituiert man in der obigen Gleichung \(R_S = \frac {R}{Q}Q_0 \) und \( \beta = \frac {Q_0}{Q_L} -1 \) und erhält\[|U_B| = 2I_{B_{DC}} \frac {R}{Q} Q_L \cos \phi \].